S022
Для одного продавца функция спроса имеет вид: Q_d=2,25-P^2 Qd = 2,25 – P 2. Этот продавец очень плохо знает микроэкономику, поэтому он думает, что «предельная выручка» – это то же самое, что и «максимальная выручка». Опираясь на свои ошибочные представления, он выбрал такой объем выпуска, при котором выручка численно равна предельной выручке.
Сколько процентов от действительно максимальной выручки он сейчас получает?
P = \sqrt{2,25 - Q}. \quad R = PQ = Q \sqrt{2,25 - Q}. \quad MR = R' = \sqrt{2,25 - Q} - \frac{Q}{2\sqrt{2,25 - Q}}.
Продавец ошибочно полагает, что R должен быть равен MR.
Q \sqrt{2,25 - Q} = \sqrt{2,25 - Q} - \frac{Q}{2\sqrt{2,25 - Q}}. \quad Q(2,25 - Q) = (2,25 - Q) - 0,5Q.
Q^2 - 3,75Q + 2,25 = 0. \quad Q_{1,2} = \frac{3,75 \pm \sqrt{14,0625 - 9}}{2} = \frac{3,75 \pm 2,25}{2}. \quad Q_1 = 3. (не подходит, так как при этом P=\sqrt{2,25-3} ).
Q_2 = 0,75. \quad P = \sqrt{2,25 - 0,75} = \sqrt{1,5}. Таким образом, в настоящий момент продавец получает выручку R=PQ=0,75\sqrt{1,5}.
Действительно максимальная выручка достигается при условии:
MR = R' = \sqrt{2,25 - Q} - \frac{Q}{2\sqrt{2,25 - Q}} = 0. \quad 2,25 - Q - 0,5Q = 0. \quad Q = 1,5.
P = \sqrt{2,25 - 1,5} = \sqrt{0,75}. Максимальная выручка R_{max}=\sqrt{0,75}*1,5.
Доля максимальной выручки, получаемая продавцом: \frac{R}{R_{\text{max}}} = \frac{0,75 \sqrt{1,5}}{1,5 \sqrt{0,75}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = 0,7071.
Ответ: 70,71\%.