На мировом рынке страна будет продавать игреки и покупать иксы в силу сравнительного преимущества — альтернативная стоимость одного игрека внутри страны постоянна и равна 2/2=1, в то время как на мировом рынке игреки вдвое дороже иксов. При международной торговле количество иксов и игреков, участвующих в сделке на мировом рынке, будет относиться как 2:1 (за один игрек дают два икса), так как по условию игреки вдвое дороже иксов.

Преобразуем функцию транспортных затрат, избавившись от одной из переменных. Пусть страна участвует в международной торговле и обменивает \tilde{x} иксов на \tilde{y} игреков. Тогда:

\tilde{L} = 0,01x^2 + 0,01y^2 = 0,01(2\tilde{y})^2 + 0,01\tilde{y}^2 = 0,05\tilde{y}^2

Пусть X=x + \tilde{x} — располагаемое (после торговли) количество иксов, равное сумме произведённого внутри страны и купленного на рынке. Аналогично, Y=y-\tilde{y}. Тогда X=x+ \tilde{x}=x+2 \tilde{y}. Будем искать максимально возможное количество Y для всех X. Будем оптимизировать функцию Y(\tilde{y}), считая X параметром, на зависящей от X области определения. Область определения можно найти из рассуждения, что количество произведённых иксов не может быть отрицательным: x=X−2\tilde{y} \geq 0, откуда \tilde{y} \leq 0,5X.

Весь труд тратится на три вида деятельности: производство иксов и игреков, а так же на транспортировку.

L_x = 2x = 2(X - 2\tilde{y}); \quad L_y = 2y = 2(Y + \tilde{y}); \quad \tilde{L} = \frac{\tilde{y}^2}{20}; \quad L = 90

L_x + L_y + \tilde{L} = 2(X - 2\tilde{y}) + 2(Y + \tilde{y}) + \frac{\tilde{y}^2}{20} = 90

X - 2\tilde{y} + Y + \tilde{y} + \frac{\tilde{y}^2}{40} = 45

Y = 45 + \tilde{y} - \frac{\tilde{y}^2}{40} - X \quad \rightarrow \text{max}, \quad 0 \leq \tilde{y} \leq 0,5X

Графиком функции Y(\tilde{y}) является квадратичная парабола с ветвями вниз. Максимум достигается в вершине \tilde{y}=20. Но вершина попадает в область определения только когда \tilde{y}=20 \leq 0,5X, то есть X \geq 40. В противном случае максимум будет на правой границе области определения \tilde{y}=0,5X.

Следовательно, один участок границы МТВ имеет следующий вид:

Y = 45 + \tilde{y} - \frac{\tilde{y}^2}{40} - X = 45 + 0,5X - \frac{(0.5X)^2}{40} - X = 45 - 0,5X - \frac{X^2}{160}

Другой участок границы МТВ имеет такой вид:

Y = \begin{cases} 45 - 0,5X - \frac{x^2}{160}, 0 \leq x < 40; \\ 55 - X, 40 \leq x \leq 55. \end{cases}

Запишем итоговый ответ: