Непрерывность под прямым углом
Казалось бы, только ленивый не научился находить оптимальный выпуск, когда даны графики и , как бы замысловато они ни выглядели. Ведь мы сталкивались с этим не раз: то у нас MC напоминает горный пейзаж, то мы собираем с внутреннего и внешнего рынков сразу. Но жизнь преподносит новые сюрпризы и загадки.
Рассмотрим монополиста, у которого общие издержки пропорциональны выпуску, а зависимость объёма спроса на его продукцию от цены задаётся непрерывной функцией. Также известно, что имеет кусочно-линейный вид с разрывом в точке A, как показано на рисунке.
Первое, что приходит в голову при взгляде не этот рисунок: "в точке B прибыль больше, чем в любой другой". Но стоит взглянуть на эту задачу под другим углом, как выясняется, что в точке А прибыль ничуть не меньше! Попробуйте объяснить этот парадокс.
Ответ
По графику кусочно-линейного MR нетрудно восстановить спрос: на каждом дифференцируемом участке спрос вдвое более пологий, чем соответствующий участок MR, и смотрят они в одну и ту же точку на оси цен.
Доведя оба участка спроса до уровня Q=2 мы выясняем, что они пришли в точки с разными координатами по оси цен. Учитывая непрерывность функции Q(p) (по условию задачи), а также то, что спрос не возрастает (в условии об этом не сказано, но это подразумевается неявно), нам ничего не остаётся, как соединить две эти точки прямой линией.
В итоге спрос Q(p) состоит не из двух, а из трёх линейных участков, один из которых – константа. Как такое могло получиться? Например, так: на рынке два покупателя, у одного спрос линейный с максимальной ценой, равной 5, а у другого спрос сначала растёт линейно (при снижении цены с P=10), но, достигнув уровня Q=2, останавливается на нём, как бы низко ни упала цена.
Что же с прибылью? Когда мы идём от Q=0 до Q=2, прибыль растёт, потому что MR>MC. Если же мы теперь захотим сдвинуться чуть правее по оси Q, то для этого придётся резко снизить цену с 6 до 5, и мы, таким образом, мгновенно уменьшим нашу выручку на величину заштрихованного прямоугольника. Вместе с выручкой уменьшится и прибыль, т. к. издержки непрерывны, и при малом изменении Q практически не изменятся. Далее прибыль будет расти вплоть до точки Q=4; мы увеличим прибыль на величину заштрихованного треугольника. В данном случае площади двух заштрихованных фигур равны, поэтому прибыль в точках A и B одинакова.
При переходе через точку Q=2 произошёл дискретный скачок выручки. Конечно, это из-за того, что разрывной оказалась функция обратного спроса P(q), ведь . Точнее говоря, для функции спроса вообще не существует обратной на участке [5;6], поскольку на этом участке спрос – константа.
Сам спрос непрерывный, но если взглянуть на обратную функцию (поменять местами оси P и Q – повернуть график на 90 градусов, то есть посмотреть на него под прямым углом:)), то непрерывности уже не будет, и поэтому одним сравнением площадей между MR и MC не обойтись.