Город надежд, город ветров, Город-мечта из сбывшихся снов. Город, который построили мы
В центре города Набережные Челны есть парк. В городе живет N жителей. Полезность i -го жителя: U_i = \theta_i \ln(g) - g_i, где g_i – вклад i -го жителя в благоустройства парка, g=g_1+g_2+...+g_N – общий вклад в благоустройство парка, а \theta_i=1/2^i - параметр предпочтений, который является общим знанием.
a) Найдите социально-оптимальный уровень благоустройства парка. (здесь надо максимизировать суммарную полезность)
U_{\text{сумм}} = \sum_{i=1}^N \left(\frac{1}{2^i} \ln(g) - g_i \right) = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n}\right) \ln(g) - g = \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) \ln(g) - g \to \max
U'_{\text{сумм}} = \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{g} - 1 = 0
g^* = 1 - \frac{1}{2^N}
b) Предположим, что жители одновременно выбирают, сколько ресурсов каждый из них вложит в развитие парка, g_i. Найдите равновесие Нэша, сравните с оптимальным уровнем из предыдущего пункта.
U_i = \frac{1}{2^i} \ln(g_i + g_{-i}) - g_i \quad \to \max \quad g_i > 0.
U'_i = \frac{\frac{1}{2^i}}{g_i + g_{-i}} - 1 = 0.
g_i = \begin{cases} \frac{1}{2^i} - g_{-i}, & g_{-i} \leq \frac{1}{2^i} \\ 0, & \text{иначе} \end{cases}
В равновесии g_1 = \frac{1}{2} \text{ и } g_2 = g_3 = \dots = g_N = 0 \implies g^* = \frac{1}{2}
\frac{1}{2} < 1 - \frac{1}{2^n} при N>2.
c) Пусть теперь государство может ввести обязательный платёж на благоустройства парка в размере t с каждого потребителя. Найдите, какое t выберет государство, если оно максимизирует суммарную полезность всех жителей.
Мы уже выяснили, что g^* = 1 - \frac{1}{2^n}
Тогда t = \frac{g^*}{N} = \frac{1 - \frac{1}{2^N}}{N}.