1.

а) (2 балла) Вывод функции спроса на продукцию. По условию, если Q=0, то P=1200. Выручка по условию максимальна при Q=6. В этой точке E^D_P=-1, данное значение эластичности соответствует точке в середине линейной функции спроса, следовательно, при Q=12, цена равна нулю. Выводим линейную функцию спроса, проходящую через две точки. Функция спроса имеет вид P=1200-100Q или Q=12-0,01P.

б) (2 балла) Найдем цену и количество, используя, значение эластичности в точке максимума прибыли.

1-й способ:

E^D_P=Q'_P \frac{P}{Q}

-2=-0,01 \frac{P}{12-0,01P}, отсюда P=800.

Подставляем цену в функцию спроса и находим: Q=12-0,01 \cdot 800=4.

2-й способ: Нахождение цены и количества исходя из геометрического смысла эластичности.

\frac{12-Q}{Q} = 2 следовательно, Q=4

\frac{P}{1200-P} следовательно, P=800

2. а) (2 балла) Пусть цена зонта X рублей (или любое неизвестное число), тогда переменные затраты в день VC=X \cdot Q, постоянные затраты (по условию задачи) равны 200 (FC=200). TC=VC+FC= X \cdot Q+200. Тогда предельные затраты MC=TC'(Q)+X , или любой константе.

б) (2 балла) Чтобы найти функцию общих издержек, нужно найти функцию MC.

1-й способ:

Найдем функцию предельной выручки, которая имеет угол наклона в 2 раза больше, чем обратная функция спроса из пункта 1а), то есть MR=1200-200Q.

В точке максимума прибыли, при Q=4 и P=800, выполняется равенство MR и MC.

MC+MR=1200-200 \cdot 4=400=X

2-й способ:

Запишем индекс Лернера \frac{P-MC}{P}=\frac{1}{|E^D_P|}. Получаем \frac{800-MC}{800}=1/2, MC=400.

Тогда функция общих издержек имеет вид TC=400Q+200

в) (2 балла) Найдем прибыль в точке максимума прибыли:

\pi = TR-TC=P \cdot Q- TC = 4 \cdot 800 -(400 \cdot 4+200)=1200

Ответ:

1. P=800, Q=4

2. Прибыль 1200 рублей в день.