Марина-монополист
На барахолке в Лужниках Марина перепродает зонты, которые она покупает на Черкозоне по фиксированной цене. Аренда места продаж стоит ей рублей в день. Марина располагает информацией о спросе на зонты: если она назначает цену за один зонт рублей и выше, то она не продаст ничего, при цене менее рублей спрос на зонты существует. Эластичность спроса по цене в точке максимума прибыли, составляет , спрос на зонты описывается линейной функцией. Марина знает, что получит максимальную выручку, если продаст 66 зонтов в день. Конкурентов у нее нет.
а) Сколько зонтов в день и по какой цене ей нужно продать, если она стремится к максимальной прибыли?
б) Рассчитайте, какую прибыль получает Марина в день.
Ответ
1.
а) (2 балла) Вывод функции спроса на продукцию. По условию, если , то . Выручка по условию максимальна при . В этой точке , данное значение эластичности соответствует точке в середине линейной функции спроса, следовательно, при , цена равна нулю. Выводим линейную функцию спроса, проходящую через две точки. Функция спроса имеет вид .
б) (2 балла) Найдем цену и количество, используя, значение эластичности в точке максимума прибыли.
1-й способ:
, отсюда .
Подставляем цену в функцию спроса и находим: .
2-й способ: Нахождение цены и количества исходя из геометрического смысла эластичности.
следовательно,
следовательно,
2. а) (2 балла) Пусть цена зонта рублей (или любое неизвестное число), тогда переменные затраты в день , постоянные затраты (по условию задачи) равны 200 . . Тогда предельные затраты , или любой константе.
б) (2 балла) Чтобы найти функцию общих издержек, нужно найти функцию .
1-й способ:
Найдем функцию предельной выручки, которая имеет угол наклона в 2 раза больше, чем обратная функция спроса из пункта 1а), то есть .
В точке максимума прибыли, при и , выполняется равенство MR и MC.
2-й способ:
Запишем индекс Лернера . Получаем , .
Тогда функция общих издержек имеет вид
в) (2 балла) Найдем прибыль в точке максимума прибыли:
Ответ:
1.
- Прибыль 1200 рублей в день.