Марина-монополист
На барахолке в Лужниках Марина перепродает зонты, которые она покупает на Черкозоне по фиксированной цене. Аренда места продаж стоит ей 200 рублей в день. Марина располагает информацией о спросе на зонты: если она назначает цену за один зонт 1200 рублей и выше, то она не продаст ничего, при цене менее 1200 рублей спрос на зонты существует. Эластичность спроса по цене в точке максимума прибыли, составляет -2, спрос на зонты описывается линейной функцией. Марина знает, что получит максимальную выручку, если продаст 66 зонтов в день. Конкурентов у нее нет.
а) Сколько зонтов в день и по какой цене ей нужно продать, если она стремится к максимальной прибыли?
б) Рассчитайте, какую прибыль получает Марина в день.
1.
а) (2 балла) Вывод функции спроса на продукцию. По условию, если Q=0, то P=1200. Выручка по условию максимальна при Q=6. В этой точке E^D_P=-1, данное значение эластичности соответствует точке в середине линейной функции спроса, следовательно, при Q=12, цена равна нулю. Выводим линейную функцию спроса, проходящую через две точки. Функция спроса имеет вид P=1200-100Q или Q=12-0,01P.
б) (2 балла) Найдем цену и количество, используя, значение эластичности в точке максимума прибыли.
1-й способ:
E^D_P=Q'_P \frac{P}{Q}
-2=-0,01 \frac{P}{12-0,01P}, отсюда P=800.
Подставляем цену в функцию спроса и находим: Q=12-0,01 \cdot 800=4.
2-й способ: Нахождение цены и количества исходя из геометрического смысла эластичности.
\frac{12-Q}{Q} = 2 следовательно, Q=4
\frac{P}{1200-P} следовательно, P=800
2. а) (2 балла) Пусть цена зонта X рублей (или любое неизвестное число), тогда переменные затраты в день VC=X \cdot Q, постоянные затраты (по условию задачи) равны 200 (FC=200). TC=VC+FC= X \cdot Q+200. Тогда предельные затраты MC=TC'(Q)+X , или любой константе.
б) (2 балла) Чтобы найти функцию общих издержек, нужно найти функцию MC.
1-й способ:
Найдем функцию предельной выручки, которая имеет угол наклона в 2 раза больше, чем обратная функция спроса из пункта 1а), то есть MR=1200-200Q.
В точке максимума прибыли, при Q=4 и P=800, выполняется равенство MR и MC.
MC+MR=1200-200 \cdot 4=400=X
2-й способ:
Запишем индекс Лернера \frac{P-MC}{P}=\frac{1}{|E^D_P|}. Получаем \frac{800-MC}{800}=1/2, MC=400.
Тогда функция общих издержек имеет вид TC=400Q+200
в) (2 балла) Найдем прибыль в точке максимума прибыли:
\pi = TR-TC=P \cdot Q- TC = 4 \cdot 800 -(400 \cdot 4+200)=1200
Ответ:
1. P=800, Q=4
2. Прибыль 1200 рублей в день.