Великие стеклодувы
Великие стеклодувы Адриан, Бенни и Вальдемар выдувают из стекла, общий запас которого равен , три вида фигурок: икс, игрек и дзет.
Технология производства фигурок представлена в таблице:
где -- количество единиц -го типа фигурок, которое способен изготовить стеклодув из единицы стекла.
а) Выведите уравнение КПВ цеха, считая, что стекло можно распределить в любой пропорции между работниками.
б) Известно, что КПВ соседнего цеха описывается уравнением (стеклодувы из второго цеха не умеют производить фигурки типа икс). Фабрика продает фигурки только наборами, состоящими из фигурок всех типов в пропорции .
Какое максимальное целое количество наборов сможет изготовить фабрика, если стекло нельзя транспортировать между цехами?
Ответ
а) Заметим, что для производства Андрианом единиц икса необходимо единиц стекла, для производства единиц игрека необходимо единиц стекла, а для производства дзетов соответственно единиц стекла. Из ограничения на количество стекла выведем уравнения КПВ каждого работника (они нам ещё пригодятся), если -ому работнику выделили единиц стекла.
где - КПВ Адриан, Бенни и Вальдемар соответственно.
Утверждение 1. Фигурки икс Вальдемар производит с наименьшими издержками относительно ресурса, а значит он будет производить весь икс .
Утверждение 2. Фигурки игрек Бенни производит с наименьшими издержками относительно ресурса, а значит он будет производить весь игрек .
Утверждение 3. Фигурки дзет Бенни производит большими издержками относительно ресурса, чем это делает Адриан и Вальдемар, а значит Бенни не будет производить дзет .
Система примет вид:
Сложим первые три уравнения: – КПВ первого цеха.
б) Введем индексы: КПВ первого цеха: , КПВ второго цеха: . Пусть количество комплектов равно , тогда .
В этом случае уравнения КПВ двух цехов примут вид:
Сложим двумерные КПВ классическим образом при фиксированном 2. Тогда КПВ фабрики описывается:
, где ,
Заметим, что луч , проходит ниже точки , поэтому необходимо рассмотреть второй участок КПВ . Не трудно посчитать, что КПВ пересекается с лучом в точке .
Точка должна лежат левее точки – это является условием того, что необходимую пропорцию производства удастся соблюсти. Откуда .
С учетом целочисленности максимальное количество товаров, которое способна произвести фабрика, равно .
Пример:
Примечание: Так как ресурсы в оптимуме тратятся не полностью в п. б) можно рассмотреть массу примеров, но для строго решения можно не приводить примеры распределений.
Ответ:
а) ;
б) .