Великие стеклодувы
Великие стеклодувы Адриан, Бенни и Вальдемар выдувают из стекла, общий запас которого равен 16, три вида фигурок: икс(x), игрек(y) и дзет(z).
Технология производства фигурок представлена в таблице:
где a_i -- количество единиц i -го типа фигурок, которое способен изготовить стеклодув из 1 единицы стекла.
а) Выведите уравнение КПВ цеха, считая, что стекло можно распределить в любой пропорции между работниками.
б) Известно, что КПВ соседнего цеха описывается уравнением 2Y+Z=64 (стеклодувы из второго цеха не умеют производить фигурки типа икс). Фабрика продает фигурки только наборами, состоящими из фигурок всех типов в пропорции 1:1:1.
Какое максимальное целое количество наборов сможет изготовить фабрика, если стекло нельзя транспортировать между цехами?
а) Заметим, что для производства Андрианом x_A единиц икса необходимо x_A единиц стекла, для производства y_A единиц игрека необходимо y_A/2 единиц стекла, а для производства z_A дзетов соответственно z_A/4 единиц стекла. Из ограничения на количество стекла выведем уравнения КПВ каждого работника (они нам ещё пригодятся), если j -ому работнику выделили F_j единиц стекла.
\begin{cases} x_A + 0.5y_A + 0.25z_A = F_1 \\ x_B + 0.25y_B + 0.5z_B = F_2 \\ 0.5x_B + y_B + 0.25z_B = F_3 \\ F_1 + F_2 + F_3 = 16 \\ x_A + x_B = X \\ y_A + y_B = Y \\ z_A + z_B = Z \end{cases}
где F_1, F_2, F_3 - КПВ Адриан, Бенни и Вальдемар соответственно.
Утверждение 1. Фигурки икс Вальдемар производит с наименьшими издержками относительно ресурса, а значит он будет производить весь икс (x_A=x_Б=0, x_B=X).
Утверждение 2. Фигурки игрек Бенни производит с наименьшими издержками относительно ресурса, а значит он будет производить весь игрек (y_A=y_B=0, y_Б=Y).
Утверждение 3. Фигурки дзет Бенни производит большими издержками относительно ресурса, чем это делает Адриан и Вальдемар, а значит Бенни не будет производить дзет (z_Б=0).
Система примет вид: \begin{cases} 0.25z_A = F_1 \\ 0.25Y = F_2 \\ 0.5X + 0.25z_B = F_3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} F_1 + F_2 + F_3 = 16 \\ z_A + z_B = Z \end{cases}
Сложим первые три уравнения: 0.5X + 0.25Y + 0.25(\underbrace{z_A + x_B}_{Z}) = 16 \Rightarrow 2X + Y + Z = 64 – КПВ первого цеха.
б) Введем индексы: КПВ первого цеха: 2X_1+Y_1+Z_1=64, КПВ второго цеха: 2Y_2+Z_2=64. Пусть количество комплектов равно N, тогда X_1=Y_1+Y_2=Z_1+Z_2=N.
В этом случае уравнения КПВ двух цехов примут вид: \begin{cases} Y_1 + Z_1 = 64 - 2N \\ 2Y_2 + Z_2 = 64 \end{cases}
Сложим двумерные КПВ классическим образом при фиксированном N\leq 32 2. Тогда КПВ фабрики описывается: Z_{\text{sum}} = \begin{cases} 128 - 2N - Y_{\text{sum}}, & 0 \leq Y_{\text{sum}} \leq 64 - 2N \\ 192 - 4N - 2Y_{\text{sum}}, & 64 - 2N \leq Y_{\text{sum}} \leq 96 - 2N \end{cases}
, где Z_{sum}=Z_1+Z_2, Y_{sum}=Y_1+Y_2
Заметим, что луч X_{sum}=Y_{sum}, проходит ниже точки (64-2N; 64), поэтому необходимо рассмотреть второй участок КПВ (64-2N\leq Y_{sum}\leq 96-2N). Не трудно посчитать, что КПВ пересекается с лучом X_{sum}=Y_{sum} в точке (64-4/3N; 64-4/3N).
Точка (64-4/3N; 64-4/3N) должна лежат левее точки (N; N) – это является условием того, что необходимую пропорцию производства удастся соблюсти. Откуда 64 - \frac{4}{3}N \leq N \Rightarrow N \leq 27\frac{2}{3}.
С учетом целочисленности максимальное количество товаров, которое способна произвести фабрика, равно 27.
Пример: X_1=27; Y_1=10; Y_2=17; Z_1=0; Z_2=27
Примечание: Так как ресурсы в оптимуме тратятся не полностью в п. б) можно рассмотреть массу примеров, но для строго решения можно не приводить примеры распределений.
Ответ:
а) 2X+Y+Z=64 ;
б) 27.