(a) Для начала запишем уравнение совокупного спроса на этой планете:

MV = PY \Rightarrow AD : Y = \frac{MV}{P} = \frac{2500 \cdot 2}{P} = \frac{5000}{P}.

(+1 балл за AD)

Далее запишем, сколько всего какао Y, производят на этой планете:

y = 100\alpha y_h + 100(1 - \alpha)y_l.

Объем производства имеет такой вид, поскольку 100 работников обладают высокой производительностью, а оставшиеся 100(1 - \alpha) — низкой.

Зная, сколько какао производят на этой планете, нетрудно выписать прибыль, которую получает планета от продаж:

\pi = P \cdot y - 100\alpha hw_h - 100(1 - \alpha)lw_l,

поскольку на оплату труда одного высокопроизводительного работника будет затрачено hw_h, а на оплату труда одного низкопроизводительного работника — lw_l.

Прибыль, подставив выражение для y и учитывая стоимость труда высокопроизводительных и низкопроизводительных работников:

\pi = P \cdot (100 \cdot y_h + 100(1 - \alpha) \cdot y_l) - 100 \alpha h w_h - 100(1 - \alpha) l w_l.

Если мы посмотрим на общую прибыль, мы можем заметить, что внутри квадратных скобок стоит выражение, которое мы бы получили, если бы предположили, что каждый работник владеет своей фирмой и индивидуально максимизирует свою прибыль. Таким образом, максимизация общей прибыли распадается на две независимые друг от друга задачи максимизации прибыли: высокопроизводительные работники решают задачу максимизации прибыли своей компании, а низкопроизводительные — своей. Поскольку на каждом рынке число участников со стороны спроса практически одинаково и все участники одинаковые между собой, мы можем приравнять на каждом рынке спрос к труд одной фирмы и предложение труда одного работника (по сути, для того, чтобы перейти на рыночный уровень, мы каждое из этих выражений должны были домножить на число участников, которое совпадает). Также можно не забыть о общей прибыли, а сразу решать задачу максимизации прибыли отдельных фирм для находящихся спроса на труд, если обе функции выписаны верно, ставим балл за выписывание.

Рынок высокопроизводительного труда. Предложение труда нам дано по условию:

h_s = w_h.

Спрос на труд найдем из максимизации прибыли \pi_h = P \cdot y_h = P \cdot 4h - hw_h. Это линейная функция, и где будет находиться её максимум, будет зависеть от угла наклона:

- Если наклон положительный, то есть w_h < 4P, тогда фирма хочет нанять бесконечно большое количество работников.

- Если наклон нулевой, т.е. w_h = 4P, то фирма хочет нанять любое количество работников от 0 до бесконечности (по сути, ей безразлично, сколько людей нанять, прибыль все равно 0).

- Если наклон отрицательный, т.е. w_h > 4P, фирма не хочет нанимать ни одного работника.

Единственное возможное равновесие на рынке труда здесь находится при w_h = 4P (при более высокой ставки зарплаты фирма никого не хочет нанимать, а работники хотят работать много, и наоборот, при меньшей ставки зарплаты фирма хочет нанять намного больше людей, чем есть на рынке). Подставляя в предложение труда, получаем, что h^* = w_h = 4P. Однако с учетом ограничения на количество часов работы, данная функция работает только при p < 25. При p > 25 получаем h^* = 100. (+1 за спрос на труд (т.е. решение задачи максимизации прибыли), +1 за равновесие (систему)).

Важно заметить! Также это равновесие можно найти и если просто взять производную прибыли и приравнять к 0, но это не совсем правильный подход, хотя конкретно в этой задаче с таким подходом никаких проблем не возникает. Поэтому за простую производную не штрафуем.

Рынок низкопроизводительного труда. Аналогично рассматриваем второй рынок. Предложение труда в данном случае имеет вид w_l = \frac{1}{16}. Найдем спрос на труд из максимизации функции прибыли \pi_l = P \cdot y_l = P \cdot \sqrt{l} - lw_l.

Извлечённый текст из изображения содержит искажения, однако основные элементы можно выделить следующим образом:

(a) После объединения регионов спрос на варенье в объединенном регионе будет равен:

Q = Q_\alpha + Q_\beta = 280 - 2P.

Обратный спрос P = 140 - \frac{Q}{2}.

Итого мы имеем:

h^* = \begin{cases} 4P, & P \in [0; 25) \\ 100, & P > 25 \end{cases}

Чтобы найти суммарное предложение какао на планете, нужно подставить найденные значения h^*, l^* в выражение для y:

y = \begin{cases} 800P(1 + \alpha), & P \in [0; 25) \\ 1600\alpha P + 1000(1 - \alpha), & P \in [\frac{5}{4}; 25) \\ 39000\alpha + 1000, & P > 25 \end{cases}

(+1 за совокупное предложение)

Чтобы найти равновесный уровень цен, нам нужно приравнять совокупный спрос и совокупное предложение. Видим, что полученный y(P) непрерывно зависит от P и для каждого P найдется единственный y и наоборот. Значит, пересечение будет только в одной точке. Если P \in [0; 25] :

5000 = 800P(1 + \alpha) \Rightarrow P^* = \frac{5000}{800(1 + \alpha)} = \frac{25}{4(1 + \alpha)} > 5.

Для любых \alpha равновесие не при таких ценах. Если P \in [\frac{5}{4}; 25] :

5000 = 1600\alpha P + 1000(1 - \alpha) \Rightarrow 1600P^2 + 1000(1 - \alpha)P - 5000 = 0.

Решая это квадратное уравнение, получаем одно решение:

P = \sqrt{\frac{1 - \alpha^2 + 32\alpha}{3.2\alpha}}.

Поскольку второй корень отрицательный, рассмотрим последний участок, где P > 25:

5000 = \frac{5000}{P} = 39000\alpha + 1000 \Rightarrow P = \frac{5}{39\alpha + 1} > 25 \Leftrightarrow 0.8 > 39\alpha,

что невозможно. Значит, пересечение спроса и предложения происходит только на втором участке.

(+1 за равновесную цену)

Посмотрим на поведение P на втором участке в зависимости от \alpha :

P'_\alpha = \frac{1}{3.2}\left[\left(-\frac{2}{\alpha^3} - \frac{30}{\alpha^2}\right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{\alpha^2} + \frac{30}{\alpha} + 1}} + \frac{1}{\alpha^2}\right].

Это выражение дает:

P' = \frac{1}{3.2\alpha^2}\left[\frac{-1 + 15\alpha}{\sqrt{1 + 30\alpha + \alpha^2} + 1}\right] \leq 0.

Первый множитель всегда положительный, значит, на знак влияет только второй множитель:

-1 + 15\alpha \leq 0 \Rightarrow \alpha \leq \frac{1}{15} \Rightarrow -2240\alpha^2 \leq 0.

Это выражение всегда неположительное, значит, равновесная цена убивает от доли высокопроизводительных работников. (+1 за направление связи) Это можно объяснить тем, что чем больше в экономике высокопроизводительных работников, тем больше оказывается совокупное предложение, в результате роста которого уровень цен на конечную продукцию сокращается. (+1 за интерпретацию)

(б) В результате сокращения денежной массы совокупный спрос примет вид:

Y_d = \frac{1600}{P} - \frac{3200}{P}.

(+1 за новую AD)

Предложение какао было выведено нами ранее. Рассмотрим P \in [0; \frac{5}{4}] :

\frac{3200}{P} = 800P(1 + \alpha) \Rightarrow P^2 = \frac{4}{(1 + \alpha)} \Rightarrow P = \frac{2}{\sqrt{(1 + \alpha)}} > \frac{5}{4}.

Таким образом, равновесие будет при других P.

Рассмотрим сразу последний участок, где P > 25:

\frac{3200}{P} = 39000\alpha + 1000 \Rightarrow P = \frac{5}{39\alpha + 1},

что не выполнено никогда. Значит, пересечение происходит на втором участке. (Можно сказать, что при сокращении спроса цена падает, а значит на этот участок мы не попадаем).

Если P \in [\frac{5}{4}; 25] :

\frac{3200}{P} = 1600\alpha P + 1000(1 - \alpha) \Rightarrow 1600\alpha P^2 + 1000(1 - \alpha)P - 3200 = 0.

Решая это квадратное уравнение, получаем одно решение:

P = \frac{\sqrt{(1 - \alpha)^2 + 2 \cdot 3.2^2 \alpha - (1 - \alpha)}}{3.2 \alpha} = \frac{1}{3.2} \left[ \sqrt{\frac{1}{\alpha^2} + \frac{2 \cdot 3.2^2 - 2}{\alpha} + 1 + 1 - \frac{1}{\alpha}} \right].

поскольку второй корень отрицательный. (+1 за равновесие) Это выражение всегда неположительное, значит, равновесная цена убывает от доли высокопроизводительных работников. Найдем разницу цен:

\sqrt{(1 - \alpha)^2 + 2 \cdot 3.2^2 \alpha - (1 - \alpha)} \leq \sqrt{(1 - \alpha)^2 + 32 \alpha - (1 - \alpha)} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{3.2 \alpha} \leq 0

3.2^2 \leq 16.

Можно было не искать разницу цен,а просто их сравнить. Мы видим, что уровень цен сократился. (+1 за направление изменения цены) Направление изменения не зависит от величины \alpha. (+1 за то, что направление не меняется)Это связано с тем, что данный параметр влияет на положение кривой совокупного предложения, однако оставляет неизменным направление сдвига кривой совокупного спроса, а также не создает предложение с отрицательным наклоном. (+1 за объяснение) Также мы можем видеть, что подкоренное выражение в новой цене снижается с ростом \alpha медленнее, чем в старой цене (потому что коэффициент при \alpha ниже). Значит, с ростом \alpha разница между значениями цен становится меньше (так как разница отрицательная, она будет расти в сторону нуля). Значит, более высокая доля высокопроизводительных работников приводит к тому, что сокращение денежной массы оказывает меньшее влияние на уровень цен. Эта часть рассуждений не обязательна, но если кто-то из участников интерпретировал вопрос про влияние доли на изменение цены таким образом - можно ориентироваться на такой ответ)

(б) Теперь стоимость одного часа труда низкопроизводительного работника равна \frac{1}{8} . Равновесие на рынке труда высокопроизводительных работников не меняется, эффект данного изменения окажет только на рынок низкопроизводительных работников.

Спрос на труд остается неизменным, т.е. w_l = \frac{P}{2\sqrt{l}}. Приравниваем спрос и предложение, получаем равновесное количество часов работы l^* = 16P^2, которые вписываются в ограничение по времени только при P \leq \frac{5}{2} (в противном случае l^* = 100 ). (+1 за равновесие на рынке труда низкопроизводительных работников)

Поскольку у нас есть ограничение по часам в году, количество часов, которое отработает каждый из типов работников, равно:

h^* = \begin{cases} 4P, & P \in [0; 25) \\ 100, & P > 25 \end{cases}

Найдём совокупное предложение какао:

y = \begin{cases} 1200\alpha P + 400P, & P \in [0; \frac{5}{4}] \\ 1600\alpha P + 1000(1 - \alpha), & P \in [\frac{5}{4}; 25] \\ 39000\alpha + 1000, & P > 25 \end{cases}

(+1 за новое совокупное предложение)

Найдём равновесие, если M = 2500 (как в пункте (а)) и P \in [0; \frac{5}{2}] :

\frac{5000}{P} = 1200\alpha P + 400P \Rightarrow P^2 = \frac{50}{4(1 + 3\alpha)}.

Значит,

P_a = \frac{5}{2\sqrt{(1 + 3\alpha)}} \quad \text{при этом равновесие наблюдается только если} \quad \alpha = 0.

Равновесие при M = 2500 (как в пункте (а)) и P \in [\frac{5}{2}; 25] аналогично найденному в пункте (а):

P = \frac{\sqrt{(1 - \alpha)^2 + 32\alpha - (1 - \alpha)}}{3.2\alpha}.

Равновесие при M = 2500 (как в пункте (а)) и P > 25 также эквивалентно найденному в пункте (а):

P_a = \frac{5}{39\alpha + 1},

а также мы показали, что эта величина никогда не превышает 25, значит, это не решение.

Значит, равновесный уровень цен не изменился (он находится на участке P \in [\frac{5}{2}; 25] ), как и зависимость от \alpha (равновесие осталось на участке предложения, которое не меняется из-за изменения зарплат, т.к. низкопроизводительные работники продолжают работать все 100 часов в году, а на высокопроизводительных изменение зп не оказало никакого влияния). (+1 за нахождение цены, +1 за то, что говорят, что связь не изменилась с комментарием, почему так происходит.)

Найдём равновесие, если M = 1600 (как в пункте (б)) и P \in [0; \frac{5}{2}] :

\frac{3200}{P} = 1200\alpha P + 400P \Rightarrow P^2 = \frac{8}{(1 + 3\alpha)}.

Значит, пересечение на первом участке произойдёт при таких \alpha. Поскольку \alpha стоит в знаменателе со знаком «плюс», а дробь положительная, равновесный уровень цен убивает от доли высокопроизводительных работников. (+1 за один кусок равновесия, +1 за отрицательную связь с долей.)

Для M = 1600 (как в пункте (б)) и P > 25 равновесие идентично найденному в (б):

P_b = \frac{3.2}{39\alpha + 1}.

Получается, характер зависимости равновесной цены от \alpha также отрицательный. (+1 за второй кусок равновесия, +1 за отрицательную связь с долей)

Таким образом, мы видим, что цены падают и в условиях новой заработной платы при сокращении денежной массы. Заметим, что при некоторых значениях \alpha ) происходит переход со второго участка предложения на первый (когда обе группы работников работают не все 100 часов в году). Поскольку заработная плата стала выше, совокупное предложение сократилось за счёт роста издержек фирм низкопроизводительных работников, а значит переход начинает происходить при большем уровне цен для того же выпуска. В этом случае цена упадёт больше, чем изменится зарплата. При этом при некоторых значениях \alpha

изменение не произойдёт, потому что низкопроизводительные работники продолжают и после изменения денежной массы работать максимальное возможное количество часов.

(+1 за рассуждения о сокращении цен при \alpha < \frac{7}{75}, и ещё +1 за рассуждения о сокращении цен при остающихся)

Разница при отрицательном числе, то изменение цены при сокращении денежной массы ниже, чем доли высокопроизводительных работников.