1) Меняя время вылета t, фирма меняет готовность потребителей платить и тем самым кривую спроса на билеты. Поэтому один из способов решения задачи — найти кривую спроса, оптимальную цену и максимальную прибыль при каждом t, а затем промаксимизировать эту прибыль по t.

Этот способ, однако, трудоемок. В данном случае легче найти, какое t максимизирует спрос при данном p, затем уже максимизировать прибыль по p.

При цене p захотят купить билет потребители, для которых t_i \in [ \frac{t−(8−p)}{2} ; \frac{t+(8−p)}{2}].Это отрезок длины (8−p) c центром в точке t.

Заметим, что при p\leq 5 тыс. руб., всегда можно найти отрезок длины (8−p), накрывающий множество t*_i\in {6,7,8,9}. Например, можно выбрать отрезок с центром t=7,5. Иными словам, в этом случае фирма всегда может выбрать t так, чтобы билеты захотели купить все 150 человек –– достаточно выбрать t=7:30 утра. Максимальная выручка в данном случае достигается при цене 5 и равна 5\cdot 150=750.

При p\in (5;6], отрезком длины (8−p) можно накрыть максимум 3 (смежных) группы потребителей. Если накрыть группы с идеальным временем t*_i\in {6,7,8}, спрос предъявят 130 человек, а если накрыть группы с идеальным времени 7, 8 и 9 часов, спрос предъявят 120 человек. Максимальная выручка равна 130\cdot 6=780, для ее достижения нужно назначить t=7 утра.

При p\in (6;7], отрезком длины (8−p) можно накрыть максимум 2 (смежных) группы потребителей. Если накрыть группы с идеальным временем 6 и 7 часов, спрос предъявят 70 человек; 7 и 8 часов –– 100 человек; 8 и 9 часов –– 80 человек. Максимальная выручка равна 100\cdot 7=700, для ее достижения нужно назначить t=7:30 утра.

При p\in (7;8], отрезком длины (8−p) можно накрыть максимум 1 группу потребителей. Это должна быть самая многочисленная группа. Таким образом, максимальная выручка в данном случае равна 8\cdot 60=480, для ее достижения нужно назначить t=8 утра.

При p>8 ни один потребитель не приобретет билет ни при каком времени вылета.

Сравнивая выручку во всех случаях выше, получаем, что оптимальным является назначение цены 6 тыс. руб. за билет и времени вылета 7 часов утра. (Прибыль фирмы составит 280 тыс. руб.)

2) Для лучшего понимания происходящего рассмотрим пару примеров. Фирме имеет смысл выделять несколько ценовых категорий билетов, если она сможет продать билеты дороже тем, кто готов за них платить больше. Для этого необходимо, чтобы больше была готовность платить именно тех потребителей, кто позже приходит на сайт. Например, если установить время вылета t=9 часов утра, то готовности платить для четырех групп будут равны (2;4;6;8) ( тыс. руб, и если фирма выделит 4 категории билетов: 30 билетов по 2 тыс., 40 билетов по 4 тыс., 60 билетов по 6 тыс., и 20 билетов по 8 тыс., она сможет продать билет каждому потребителю по его готовности платить, и в итоге получит выручку 740 тыс. руб, что гораздо больше, чем максимальная выручка при t=9, если назначать единую цену (480 тыс. руб.).

С другой стороны, если установить время вылета t=7 часов утра, то готовности платить будут равны (8;6;4;2) тыс. руб, и трюк с выделением нескольких категорий не пройдет, так как самая ранняя группа купит билеты по 2, а не по 8, и.т.д. В этом случае фирма не сможет заработать выручку больше, чем в случае установления единой цены.

Несмотря на то, что при t=9 фирма может изъять у каждого потребителя его готовность платить, не факт что t=9 является оптимальным, ведь фирма, меняя t, может менять сами готовности платить. Тем не менее, из примеров выше становится ясно, что ценовая дискриминация будет приносить выгоду скорее при больших t, чем при маленьких.

Теперь перейдем непосредственно к решению задачи. Будем называть группы потребителей по идеальному для них времени вылета; за Vt обозначим готовность платить члена группы с идеальным временем t.

Заметим, что при оптимальной для фирме ценовой политике выполнено следующее: если некая группа потребителей покупает билеты, то все группы, для которых идеальное время вылета меньше, тоже покупают билеты. Действительно, если это не так, то фирма может опустить цену на часть билетов так, чтобы более «ранние» группы купили их, не меняя поведение более «поздних» групп, и прибыль ее увеличится.

Таким образом, в оптимуме возможны 4 варианта: (1) Все потребители покупают билеты; (2) Только группы 6, 7, 8 покупают билеты; (3) Только группы 6 и 7 покупают билеты; (4) Только группа 6 покупает билеты.

Будем рассматривать эти 4 случая по отдельности.

Случай 1. Очевидно, что имеет смысл рассматривать только t\in [6;9]. Встанем в t=9 и будем уменьшать t. При t\in [8,5;9] готовности платитьV₆, V₇, V₈ и V₉ будут удовлетворять соотношению V_6 \leq V_7 \leq V_8 \leq V_9. Выделяя 4 категории билетов — 30 билетов по V₆ тыс., 40 билетов по V₇ тыс., 60 билетов по V₈ тыс., и 20 билетов по V₉ тыс, фирма сможет изъять у каждого потребителя его готовность платить. При этом при уменьшении t суммарная готовность платить групп 6, 7 и 8 растет сильнее, чем падает суммарная готовность платить группы 9 (так как 2 \cdot (30+40+60)>2 \cdot 20 ), и поэтому максимальная выручка на этом участке достигается при t=8,5; несложно посчитать, что она равна 850 тыс. руб. При t\in [8;8,5) будет выполнено соотношение V_6 \leq V_7 \leq V_9 \leq V_8, и потому, чтобы продать билеты всем группам, фирме придется установить единую цену для групп 8 и 9, равную V₉ (для групп 6 и 7 цены по-прежнему равны V₆ и V₇). При этом на этом участке выручка уменьшается при уменьшении t, так как 2 \cdot (30+40)<2 \cdot (20+60).

При t\in [7,5;8) фирме придется устанавливать единую цену для групп 7, 8 и 9, равную V₉; выручка по-прежнему будет уменьшаться при уменьшении t, так как 2 \cdot 30<2 \cdot (40+20+60). При t<7,5 фирме придется устанавливать единую цену на все билеты, чтобы все группы купили билет. Эта цена равна V₉, и поэтому выручка, очевидно, будет убывать при уменьшении t.

Таким образом, оптимальным временем вылета в данном случае является t=8,5. При этом времени вылета фирма предложит 30 билетов по 3000, 40 билетов по 5000 и 80 билетов по 7000. Выручка составит 850 тыс. руб.

Случай 2. Очевидно, что имеет смысл рассматривать только t\in [6;8]. (Про группу 9 забудем, будем считать, что фирма предлагает только 130 билетов.) Встанем в t=8 и будем уменьшать t. Аналогично Случаю 1, при t\in [7,5;8] готовности платить V₆, V₇ и V₈ будут удовлетворять соотношению V_6 \leq V_7 \leq V_8, и потому фирма сможет изъять у каждой из трех групп ее излишек, выделяя три ценовые категории. При этом выручка будет возрастать при уменьшении t, так как 2 \cdot (30+40)>2 \cdot 60. На этом участке оптимальным является t=7,5, несложно посчитать, что максимальная выручка опять равна 850 тыс. руб.

При t<7,5 фирме придется назначать единую цену для групп 7 и 8, равную V₈; так как 2 \cdot 30<2 \cdot (40+60), выручка будет убывать при уменьшении t. При t<7 цена должна быть общей для всех трех групп, и выручка вновь будет убывать при уменьшении t.

Таким образом, оптимальным временем вылета в данном случае является t=7,5. При этом времени вылета фирма предложит 30 билетов по 5000 и 100 билетов по 7000. Выручка составит 850 тыс. руб.

Случай 3. Очевидно, что выручка фирмы не больше 8 \cdot (30+40)<850, и потому этот вариант не может быть оптимальным.

Случай 4. Очевидно, что выручка фирмы не больше 8 \cdot 30<850, и потому этот вариант не может быть оптимальным.

Ответ:

Первый вариант: вылет в 7:30 утра, и предлагаются 30 билетов по 5000 и 100 билетов по 7000. Второй вариант: вылет в 8:30 утра, и предлагаются 30 билетов по 3000, 40 билетов по 5000 и

80 билетов по 7000.

В обоих случаях прибыль компании составит 350 тыс. руб.