Чем ближе кривая Лоренца находится к линии абсолютного равенства (y=x ), тем более равномерное распределение доходов она отражает. Поэтому если одна кривая Лоренца лежит все время выше другой, то первое распределение доходов равномернее второго.

Заметим, что в нашем случае четыре кривые действительно расположены одна под другой.

\frac{x^3 + x}{2} \geq x^2, так как x(x - 1)^2 \geq 0. Значит, в третьем округе распределение доходов равномернее, чем в первом.

x^2 \geq \frac{2x^3}{1 + x^2}, так как x^2(x - 1)^2 \geq 0. В первом округе распределение доходов равномернее, чем в четвертом.

\sqrt{\frac{x^6 + x^2}{2}} \geq \frac{x^3 + x}{2}, так как (x^3 - x)^2 \geq 0. Наконец, во втором округе распределение доходов равномернее, чем в третьем.

В итоге получаем, что по возрастанию неравенства нужно расставить округа так: второй, третий, первый, четвертый.

Ответ:

2, 3, 1, 4.

Примечание:

Требуемое в задаче неравенство \frac{2x^3}{1 + x^2} \leq x^2 \leq \frac{x^3 + x}{2} \leq \sqrt{\frac{x^6 + x^2}{2}} можно было получить сразу, заметив, что оно представляет собой не что иное, как известное неравенство между средним гармоническим, средним геометрическим, средним арифметическим и средним квадратическим, выписанное для величин x и x³.