Кривые Лоренца и сопоставление неравенства
Страна, в которой Вы отвечаете за социально-экономическую политику, разделена на четыре федеральных округа, отличающихся по степени неравенства доходов. Из проверенных статистических источников Вам известны уравнения кривых Лоренца, характеризующие неравенство дохода в этих округах.
Первый округ: y = x^2
Второй округ: y = \sqrt{\frac{x^6 + x^2}{2}}
Третий округ: y = \frac{x^3 + x}{2}
Четвертый округ: y = \frac{2x^3}{1 + x^2}
Расположите округа по возрастанию неравенства доходов. Пример ответа: 1234.
Чем ближе кривая Лоренца находится к линии абсолютного равенства (y=x ), тем более равномерное распределение доходов она отражает. Поэтому если одна кривая Лоренца лежит все время выше другой, то первое распределение доходов равномернее второго.
Заметим, что в нашем случае четыре кривые действительно расположены одна под другой.
\frac{x^3 + x}{2} \geq x^2, так как x(x - 1)^2 \geq 0. Значит, в третьем округе распределение доходов равномернее, чем в первом.
x^2 \geq \frac{2x^3}{1 + x^2}, так как x^2(x - 1)^2 \geq 0. В первом округе распределение доходов равномернее, чем в четвертом.
\sqrt{\frac{x^6 + x^2}{2}} \geq \frac{x^3 + x}{2}, так как (x^3 - x)^2 \geq 0. Наконец, во втором округе распределение доходов равномернее, чем в третьем.
В итоге получаем, что по возрастанию неравенства нужно расставить округа так: второй, третий, первый, четвертый.
Ответ:
2, 3, 1, 4.
Примечание:
- Требуемое в задаче неравенство \frac{2x^3}{1 + x^2} \leq x^2 \leq \frac{x^3 + x}{2} \leq \sqrt{\frac{x^6 + x^2}{2}} можно было получить сразу, заметив, что оно представляет собой не что иное, как известное неравенство между средним гармоническим, средним геометрическим, средним арифметическим и средним квадратическим, выписанное для величин x и x3.