Начнём с того, что в условии указана производительность Кирилла и Гоши за 2 часа работы. Этот факт необязательно использовать при решении, однако, если участники делили объёмы производства на 2 и решали всю задачу с этими числами, баллы не снижались. Здесь же приведём решение для объёмов производства за 2 часа.

1. Альтернативная стоимость производства экспериментов для Кирилла: AC_e^K=2, альтернативная стоимость производства экспериментов для Гоши: AC_e^G=0,25. Суммарно Кирилл и Гоша могут произвести 100 экспериментов или 60 единиц мерча. Построим кривую производственных возможностей Гоши и Кирилла, руководствуясь тем, что альтернативная стоимость производства растёт с ростом объёмов производства.

Функция полезности Миши U=\min x, y. Такая функция полезности соответствует комплементарным товарам, кривые безразличия имеют вид "уголков", вершины которых располагаются на прямой y=x. Оптимальной точкой будет являться точка, в которой пересекаются КПВ Гоши и Кирилла и кривая безразличия Миши. Искомой кривой безразличия в данном случае будет являться та, которая имеет ровно одну точку пересечения с КПВ. Изобразим карту кривых безразличия, КПВ и оптимальную точку на одном графике:

Видно, что оптимальная точка находится на втором (слева-направо) участке КПВ. Уравнение этого участка: y=240-4x.

Приравняем уравнение второго участка КПВ и прямой y=x : 240 - 4x = x \Rightarrow x^* = 48, y^* = 48.

Таким образом, в оптимуме будет потребляться по 48 единиц мерча и экспериментов.

2. Здесь стоит рассмотреть два случая.

a) Первый случай: оптимум находится на первом (слева-направо) участке КПВ.

Уравнение первого участка КПВ: y=100-0,5x, x\in[0, 40].

Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её. U_1 = -x^2 + 8.5x + 100 - 0.5x = -x^2 + 8x + 100 \rightarrow \max_{x \in [0, 40]}

Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.

x^* = \frac{8}{2} = 4 \in [0, 40], \quad y^* = 98

U_1^* = -16 + 32 + 100 = 116

b) Второй случай: оптимум находится на втором (слева-направо) участке КПВ.

Уравнение второго участка КПВ: y=240-4x, x\in[40, 60].

Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её. U_2 = -x^2 + 8,5x + 240 - 4x = -x^2 + 4,5x + 240 \quad \rightarrow \quad \max_{x \in [40,60]}

Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.

x_B = \frac{4,5}{2} = 2,25 \notin [40, 60]

Видно, что вершина параболы не принадлежит промежутку, значит выбираем граничную точку промежутку, ближайшую к координате вершине, это -x=40, тогда найдём полезность:

U_2^*=-1600+180+240=-1180

Во втором случае полезность, очевидно, меньше, чем в первом, значит оптимальные объёмы потребления мерча и экспериментов найдены в первом случае.

3. Запишем бюджетное ограничение Антона в общем виде: P_x*x+P_y*y\leq I, где P_x, P_y – цены мерча и экспериментов соответственное, а I – доход Антона. С учётом данных из условия можем переписать бюджетное ограничение Антона в следующем виде: P_x*x+y\leq I или y\leq I-P_x*x x. Заметим, что если y<I-P_x, мы может немного увеличить y и уменьшить x, при этом увеличив полезность, поэтому неравенство можно заменить на равенство. Тогда подставим бюджетное ограничение в полезность Антона и промаксимизируем:

U = -x^2 + 8,5x + I - P_x \cdot x = -x^2 + (8,5 - P_x) x + I \rightarrow \max_{0 \leq x \leq \frac{I}{P_x}}

Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.

x^* = \frac{8,5 - P_x}{2}

Заметим, что если P_x>8,5, то товар x становится слишком дорогим, и Антон перестаёт его покупать, т.е. x^*=0, P_x>8,5.

С другой стороны, если расходы на товар x в оптимуме превышают доход Антона, то он будет потреблять ровно x^* = \frac{I}{P_x}, \quad \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x}

Таким образом, спрос на мерч состоит из трёх участков:

x^d = \begin{cases} 0, & P_x > 8,5 \\ \frac{8,5 - P_x}{2}, & P_x \leq 8,5, \frac{8,5 - P_x}{2} \leq \frac{I}{P_x} \\ \frac{I}{P_x}, & \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x} \end{cases}