Организаторы организуют
Кирилл и Гоша занимаются экспериментами и выдают мерч в каморке. За 2 часа Кирилл может сделать 20 экспериментов или выдать 40 единиц мерча (а также любую их линейную комбинацию). Гоша, соответственно, 80 экспериментов или 20 единиц мерча. Оба этих занятия эффективно распределены между ребятами. Мерч и эксперименты делаются специально для Мишы, функция полезности которого задаётся уравнением: U = \min\{x, y\}, где x – количество единиц мерча, а y – количество экспериментов.
a) ( 12 баллов) Найдите, сколько единиц мерча и экспериментов будет потреблять Миша и проиллюстрируйте ваше решение на графике (начертите карту кривых безразличия и покажите выбор оптимальной точки).
Начнём с того, что в условии указана производительность Кирилла и Гоши за 2 часа работы. Этот факт необязательно использовать при решении, однако, если участники делили объёмы производства на 2 и решали всю задачу с этими числами, баллы не снижались. Здесь же приведём решение для объёмов производства за 2 часа.
1. Альтернативная стоимость производства экспериментов для Кирилла: AC_e^K=2, альтернативная стоимость производства экспериментов для Гоши: AC_e^G=0,25. Суммарно Кирилл и Гоша могут произвести 100 экспериментов или 60 единиц мерча. Построим кривую производственных возможностей Гоши и Кирилла, руководствуясь тем, что альтернативная стоимость производства растёт с ростом объёмов производства.
Функция полезности Миши U=\min x, y. Такая функция полезности соответствует комплементарным товарам, кривые безразличия имеют вид "уголков", вершины которых располагаются на прямой y=x. Оптимальной точкой будет являться точка, в которой пересекаются КПВ Гоши и Кирилла и кривая безразличия Миши. Искомой кривой безразличия в данном случае будет являться та, которая имеет ровно одну точку пересечения с КПВ. Изобразим карту кривых безразличия, КПВ и оптимальную точку на одном графике:
Видно, что оптимальная точка находится на втором (слева-направо) участке КПВ. Уравнение этого участка: y=240-4x.
Приравняем уравнение второго участка КПВ и прямой y=x : 240 - 4x = x \Rightarrow x^* = 48, y^* = 48.
Таким образом, в оптимуме будет потребляться по 48 единиц мерча и экспериментов.
2. Здесь стоит рассмотреть два случая.
a) Первый случай: оптимум находится на первом (слева-направо) участке КПВ.
Уравнение первого участка КПВ: y=100-0,5x, x\in[0, 40].
Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её. U_1 = -x^2 + 8.5x + 100 - 0.5x = -x^2 + 8x + 100 \rightarrow \max_{x \in [0, 40]}
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
x^* = \frac{8}{2} = 4 \in [0, 40], \quad y^* = 98
U_1^* = -16 + 32 + 100 = 116
b) Второй случай: оптимум находится на втором (слева-направо) участке КПВ.
Уравнение второго участка КПВ: y=240-4x, x\in[40, 60].
Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её. U_2 = -x^2 + 8,5x + 240 - 4x = -x^2 + 4,5x + 240 \quad \rightarrow \quad \max_{x \in [40,60]}
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
x_B = \frac{4,5}{2} = 2,25 \notin [40, 60]
Видно, что вершина параболы не принадлежит промежутку, значит выбираем граничную точку промежутку, ближайшую к координате вершине, это -x=40, тогда найдём полезность:
U_2^*=-1600+180+240=-1180
Во втором случае полезность, очевидно, меньше, чем в первом, значит оптимальные объёмы потребления мерча и экспериментов найдены в первом случае.
3. Запишем бюджетное ограничение Антона в общем виде: P_x*x+P_y*y\leq I, где P_x, P_y – цены мерча и экспериментов соответственное, а I – доход Антона. С учётом данных из условия можем переписать бюджетное ограничение Антона в следующем виде: P_x*x+y\leq I или y\leq I-P_x*x x. Заметим, что если y<I-P_x, мы может немного увеличить y и уменьшить x, при этом увеличив полезность, поэтому неравенство можно заменить на равенство. Тогда подставим бюджетное ограничение в полезность Антона и промаксимизируем:
U = -x^2 + 8,5x + I - P_x \cdot x = -x^2 + (8,5 - P_x) x + I \rightarrow \max_{0 \leq x \leq \frac{I}{P_x}}
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
x^* = \frac{8,5 - P_x}{2}
Заметим, что если P_x>8,5, то товар x становится слишком дорогим, и Антон перестаёт его покупать, т.е. x^*=0, P_x>8,5.
С другой стороны, если расходы на товар x в оптимуме превышают доход Антона, то он будет потреблять ровно x^* = \frac{I}{P_x}, \quad \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x}
Таким образом, спрос на мерч состоит из трёх участков:
x^d = \begin{cases} 0, & P_x > 8,5 \\ \frac{8,5 - P_x}{2}, & P_x \leq 8,5, \frac{8,5 - P_x}{2} \leq \frac{I}{P_x} \\ \frac{I}{P_x}, & \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x} \end{cases}
б) ( 8 баллов) Пусть про удивительные товары (эксперименты и мерч) узнал Антон и стал потреблять эти товары вместо Мишы. Его функция полезности задаётся уравнением: U=-x^2+8,5x+y. Сколько мерча и экспериментов потребит Антон?
Здесь стоит рассмотреть два случая.
a) Первый случай: оптимум находится на первом (слева-направо) участке КПВ.
Уравнение первого участка КПВ: y=100-0,5x, x\in[0, 40].
Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её. U_1 = -x^2 + 8.5x + 100 - 0.5x = -x^2 + 8x + 100 \rightarrow \max_{x \in [0, 40]}
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
x^* = \frac{8}{2} = 4 \in [0, 40], \quad y^* = 98
U_1^* = -16 + 32 + 100 = 116
b) Второй случай: оптимум находится на втором (слева-направо) участке КПВ.
Уравнение второго участка КПВ: y=240-4x, x\in[40, 60].
Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её. U_2 = -x^2 + 8,5x + 240 - 4x = -x^2 + 4,5x + 240 \quad \rightarrow \quad \max_{x \in [40,60]}
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
x_B = \frac{4,5}{2} = 2,25 \notin [40, 60]
Видно, что вершина параболы не принадлежит промежутку, значит выбираем граничную точку промежутку, ближайшую к координате вершине, это -x=40, тогда найдём полезность:
U_2^*=-1600+180+240=-1180
Во втором случае полезность, очевидно, меньше, чем в первом, значит оптимальные объёмы потребления мерча и экспериментов найдены в первом случае.
в) ( 10 баллов) Выведите функцию спроса Антона на мерч (в зависимости от цены на мерч), если цена эксперимента равна 1 тыс. руб.
Запишем бюджетное ограничение Антона в общем виде: P_x*x+P_y*y\leq I, где P_x, P_y – цены мерча и экспериментов соответственное, а I – доход Антона. С учётом данных из условия можем переписать бюджетное ограничение Антона в следующем виде: P_x*x+y\leq I или y\leq I-P_x*x x. Заметим, что если y<I-P_x, мы может немного увеличить y и уменьшить x, при этом увеличив полезность, поэтому неравенство можно заменить на равенство. Тогда подставим бюджетное ограничение в полезность Антона и промаксимизируем:
U = -x^2 + 8,5x + I - P_x \cdot x = -x^2 + (8,5 - P_x) x + I \rightarrow \max_{0 \leq x \leq \frac{I}{P_x}}
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
x^* = \frac{8,5 - P_x}{2}
Заметим, что если P_x>8,5, то товар x становится слишком дорогим, и Антон перестаёт его покупать, т.е. x^*=0, P_x>8,5.
С другой стороны, если расходы на товар x в оптимуме превышают доход Антона, то он будет потреблять ровно x^* = \frac{I}{P_x}, \quad \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x}
Таким образом, спрос на мерч состоит из трёх участков:
x^d = \begin{cases} 0, & P_x > 8,5 \\ \frac{8,5 - P_x}{2}, & P_x \leq 8,5, \frac{8,5 - P_x}{2} \leq \frac{I}{P_x} \\ \frac{I}{P_x}, & \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x} \end{cases}