Страна Z на мировом рынке
Рассмотрите страну Z, производящую два товара – икс и игрек – с помощью двух факторов производства: капитала и труда. Для производства единицы икса необходимы 4 единицы капитала и 1 единица труда; для производства единицы игрека необходимы 1 единица капитала и 4 единицы труда. Всего в стране есть 100 единиц капитала и 100 единиц труда.
(а) Назовём кривой производственных возможностей (КПВ) линию, ограничивающую в координатах (x;y) множество всех доступных стране комбинаций иксов и игреков. Постройте КПВ страны Z и задайте её аналитически.
(б) Допустим, у страны Z есть опция выйти на мировой рынок, где она не сможет влиять на цены (будет воспринимать их как заданные). На мировом рынке цена одного икса составляет 4 д.е., а цена одного игрека составляет 2 д.е. Назовём кривой торговых возможностей (КТВ) линию, ограничивающую в координатах (x;y) множество всех доступных стране для потребления комбинаций иксов и игреков. Постройте КТВ страны Z (в одних координатах с КПВ) и задайте её аналитически. Сколько единиц икса и сколько единиц игрека будет производиться внутри страны Z, если она будет участником международной торговли? Зависит ли ваш ответ от того, сколько иксов и игреков страна хочет потребить?
(в) Предположим, жители страны Z потребляют иксы и игреки исключительно в пропорции «на каждые 2 единицы икса – по 1 единице игрека». Сколько иксов и игреков страна сможет потребить? Какой товар при этом будет экспортироваться на мировой рынок, а какой – импортироваться с мирового рынка? В каких количествах?
(а) ( 6 баллов) Для производства x иксов и y игреков потребуется 4x+y единиц капитала; всего в стране 100 единиц капитала, поэтому должно будет выполняться условие 4x+y\leq 100. Аналогично, для производства x иксов и y игреков потребуется x+4y единиц труда; всего в стране 100 единиц труда, поэтому должно будет выполняться условие x+4y\leq 100. Стране будут доступны те комбинации иксов и игреков, которые удовлетворяют одновременно этим двум условиям (тогда для производства хватит и капитала, и труда), т.е. лежат под обеими прямыми. КПВ имеет вид:
y = \begin{cases} 25 - 0,25x & 0 \leq x \leq 20 \\ 100 - 4x & 20 \leq x \leq 25 \end{cases}
За верное нахождение ограничений по труду и капиталу ставится по 1 баллу. Верно полученная итоговая КПВ оценивается в 2 балла. Верно полученное уравнение КПВ оценивается ещё в 2 балла. Дискретное решение (построение КПВ по точкам) оценивается максимальным баллом только при условии рассмотрения всех целочисленных точек и при наличии достаточного обоснования поведения функций на всех участках. За правильный ответ (график и/или функцию КПВ) при отсутствии какого-либо обоснования построения выставляется 0 баллов. За правильный ответ (график и/или функцию КПВ) при неполном обосновании построения участник получает 2 балла. Минус 1 балл за каждую арифметическую ошибку. Минус 1 балл за ошибки в записи итоговой системы уравнений КПВ (например, отсутствуют ограничения).
(б) ( 10 баллов) Если страна произведёт x иксов, то при выходе на мировой рынок она сможет заработать сумму p_xx+p_yy(x) ; чем эта сумма больше, тем больше комбинаций иксов и игреков будут доступны стране для потребления:
4x + 2y(x) = \begin{cases} 4x + 2(25 - 0,25x) & 0 \leq x \leq 20 \\ 4x + 2(100 - 4x) & 20 \leq x \leq 25 \end{cases} \iff \begin{cases} 4x + 50 - 0,5x & 0 \leq x \leq 20 \\ 4x + 200 - 8x & 20 \leq x \leq 25 \end{cases} \iff \begin{cases} 50 + 3,5x & 0 \leq x \leq 20 \\ 200 - 4x & 20 \leq x \leq 25 \end{cases}
Первый участок возрастает, второй – убывает, поэтому точка максимума находится в изломе – при x=20. То бишь, страна произведёт 20 иксов и, как следует из КПВ, 20 игреков, причём вне зависимости от того, сколько иксов и игреков она захочет потребить. При этом страна сможет заработать максимальную сумму: p_xx+p_yy=4*20+2*20=120. Если страна потратит эту сумму на покупку иксов и игреков, то ей будут доступны все комбинации, отвечающие условию 4x+2y\leq 120. КТВ – линия, вдоль которой это неравенство выполняется как равенство, поэтому она будет определяться как y=60-2x.
За обоснованно полученный вывод, что страна всегда будет производить точку (20;20), при помощи максимизации выручки, сравнения альтернативных издержек или нахождения самой высокой касательной к графику КПВ участник получает 4 балла. При неполном обосновании этого утверждения участник получает 2 балла. При отсутствии какого-либо обоснования выбора точки (20;20) участник получает 0 баллов. Участник получает 2 балла при достаточном обосновании факта, что страна будет производить точку (20;20) независимо от потребностей. Ещё 2 балла участник получает за описание всех возможных комбинаций товаров, которые можно получить посредством торговли из точки (20;20). За правильно полученное уравнение КТВ также выставляется 2 балла. Минус 1 балл за каждую арифметическую ошибку, не приводящую к упрощению задачи.
(в) ( 4 балла) Страна предпочитает потреблять комбинации иксов и игреков, которые лежат на линии y=0,5x. Уравнение КТВ имеет вид y=60-2x, поэтому в оптимуме 60-2x=0,5x, откуда находим x=24 и y=12. Стало быть, страна импортирует недостающие 4 икса и экспортирует «лишние» 8 игреков.
Участник получает 2 балла за верно полученные объёмы потребления товаров. Ещё 2 балла ставится за верно полученные значения экспорта и импорта. Минус 1 балл за каждую арифметическую ошибку. Минус 1 балл, если участник неправильно использует понятия «экспорт» и «импорт».