Запишем систему уравнений: \left\{ \begin{aligned} &(1) \quad N_{\text{богатые}} = 1{,}5 N_{\text{нищ}} \\ &(2) \quad I_{\text{богатые}} = 9 I_{\text{нищ}} \\ &(3) \quad N_{\text{сред}} = 2 N_{\text{бед}} \\ &(4) \quad I_{\text{сред}} = 3 I_{\text{бед}} \\ &(5) \quad N_{\text{бед}} + N_{\text{сред}} = 9 (N_{\text{нищ}} + N_{\text{богатые}}) \\ &(6) \quad I_{\text{бед}} + I_{\text{сред}} = 4 (I_{\text{нищ}} + I_{\text{богатые}}) \end{aligned} \right.

И решая ее, получаем ответы, обозначив за X число нищих и за Y их доход:

а) [4 балла]

Из (1) и (3) выражаем числа и подставляем в (5):

N_{\text{бед}} + N_{\text{сред}} = 9 (N_{\text{нищ}} + N_{\text{богатые}}) \implies 3 N_{\text{бед}} = 9(x + 1{,}5x)

Итого:

N_{\text{нищ}} = x, \, N_{\text{бед}} = 7{,}5x, \, N_{\text{сред}} = 15x, \, N_{\text{богатые}} = 1{,}5x

Общая численность: 25x\implies Нищие составляют 4\%, Бедные –– 30\%, Средние –– 60\% и Богатые –– 6\%

.б) [4 балла]

I_{\text{бед}} + I_{\text{сред}} = 4(I_{\text{нищ}} + I_{\text{богатые}}) \implies 4I_{\text{бед}} = 4(y + 9y)

Итого:

I_{\text{нищ}} = y, \quad I_{\text{бед}} = 10y, \quad I_{\text{сред}} = 30y, \quad I_{\text{богатые}} = 9y

Общий доход: 50y\implies Нищие составляют 2\%, Бедные –– 20\%, Средние – 60\% и Богатые – 18\%

в) [17 баллов]

Заметим, что доход и числитель в знаменателе можно сократить. Поэтому коэффициент будет выражаться просто отношением процента дохода xz самых богатых к z самых бедных.

Для расчётов удобно нарисовать кривую Лоренца для данной экономики.

Заметим, что z\in [10; 25] приводит к тому, что доход нищих и богатых всегда входит в подсчет. Поэтому нам достаточно посчитать, какой доход бедных и средних входит в подсчет коэффициента.

coeff = \frac{0,18 + (z - 0,06) \cdot 1}{0,02 + (z - 0,04) \cdot \frac{2}{3}} = \frac{3z + 0,36}{2z - 0,02}