Как живется бурундийцам (8-9)
Король Бурундии Буриндин XXVII решил исследовать, как живут его подданные. Статистическая служба Бурундии долго собирала и анализировала данные, после чего на стол главному счетоводу была положена следующая информация:
- всё население Бурундии можно поделить на несколько групп, внутри которых доходы распределяются равномерно: нищих, бедняков, середняков и богачей;
- богачей в Бурундии в полтора раза больше, чем нищих, а доход всех вместе взятых бурундийских богачей в 9 раз больше, чем доход всех бурундийских нищих;
- середняков в Бурундии вдвое больше, чем бедняков, при этом все вместе середняки втрое богаче всех бедняков;
- если сложить число бедняков и середняков, их окажется в 9 раз больше, чем нищих и богачей вместе взятых, при этом общий доход двух "средних" групп населения будет в 4 раза больше, чем доход двух "крайних" групп.
(а) Определите долю каждой группы в общей численности населения Бурундии. Ответ следует дать в виде процентов.
(б) Определите долю от общего дохода населения Бурундии, которую получает каждая группа. Ответ следует дать в виде процентов.
(в) Экономисты используют разные способы для оценки распределения доходов между различными группами населения. Так, одним из способов анализа дифференциации доходов является децимальный коэффициент, показывающий, во сколько раз доходы 10\% наиболее богатых людей больше доходов 10\% наиболее бедных; аналогично, квинтильный коэффициент показывает отношение доходов 20\% наиболее богатых к доходам 20\% наиболее бедных; квартильный коэффициент –– отношение доходов 25\% наиболее богатых к доходам 25\% наиболее бедных. Чему будет равен коэффициент, показывающий отношение суммарного дохода z\% самых богатых к суммарному доходу z%z% самых бедных жителей Бурундии, z \in [10; 25] ?
Запишем систему уравнений: \left\{ \begin{aligned} &(1) \quad N_{\text{богатые}} = 1{,}5 N_{\text{нищ}} \\ &(2) \quad I_{\text{богатые}} = 9 I_{\text{нищ}} \\ &(3) \quad N_{\text{сред}} = 2 N_{\text{бед}} \\ &(4) \quad I_{\text{сред}} = 3 I_{\text{бед}} \\ &(5) \quad N_{\text{бед}} + N_{\text{сред}} = 9 (N_{\text{нищ}} + N_{\text{богатые}}) \\ &(6) \quad I_{\text{бед}} + I_{\text{сред}} = 4 (I_{\text{нищ}} + I_{\text{богатые}}) \end{aligned} \right.
И решая ее, получаем ответы, обозначив за X число нищих и за Y их доход:
а) [4 балла]
Из (1) и (3) выражаем числа и подставляем в (5):
N_{\text{бед}} + N_{\text{сред}} = 9 (N_{\text{нищ}} + N_{\text{богатые}}) \implies 3 N_{\text{бед}} = 9(x + 1{,}5x)
Итого:
N_{\text{нищ}} = x, \, N_{\text{бед}} = 7{,}5x, \, N_{\text{сред}} = 15x, \, N_{\text{богатые}} = 1{,}5x
Общая численность: 25x\implies Нищие составляют 4\%, Бедные –– 30\%, Средние –– 60\% и Богатые –– 6\%
.б) [4 балла]
I_{\text{бед}} + I_{\text{сред}} = 4(I_{\text{нищ}} + I_{\text{богатые}}) \implies 4I_{\text{бед}} = 4(y + 9y)
Итого:
I_{\text{нищ}} = y, \quad I_{\text{бед}} = 10y, \quad I_{\text{сред}} = 30y, \quad I_{\text{богатые}} = 9y
Общий доход: 50y\implies Нищие составляют 2\%, Бедные –– 20\%, Средние – 60\% и Богатые – 18\%
в) [17 баллов]
Заметим, что доход и числитель в знаменателе можно сократить. Поэтому коэффициент будет выражаться просто отношением процента дохода xz самых богатых к z самых бедных.
Для расчётов удобно нарисовать кривую Лоренца для данной экономики.
Заметим, что z\in [10; 25] приводит к тому, что доход нищих и богатых всегда входит в подсчет. Поэтому нам достаточно посчитать, какой доход бедных и средних входит в подсчет коэффициента.
coeff = \frac{0,18 + (z - 0,06) \cdot 1}{0,02 + (z - 0,04) \cdot \frac{2}{3}} = \frac{3z + 0,36}{2z - 0,02}