1. Запишем задачу потребителя:

\begin{cases} U = 3T \cdot C_0 - C_0^2 + 3T \cdot C_1 - C_1^2 + 3T \cdot C_2 - C_2^2 \rightarrow \max_{C_0, C_1, C_2 \geq 0} \\ C_0 + C_1 + C_2 = T \end{cases}

Найдём предельную полезность потребления в каждом из периодов:

\begin{cases} MU_0 = U'_{C_0} = 3T - 2C_0 \\ MU_1 = U'_{C_1} = 3T - 2C_1 \\ MU_2 = U'_{C_2} = 3T - 2C_2 \end{cases}

Из бюджетного ограничения видно, что цена потребления в каждом периоде постоянная и равна единице, поэтому можем записать правило равенства отношений предельных полезностей к ценам следующим образом:

MU_0 = MU_1 = MU_2 \Rightarrow C_0 = C_1 = C_2 = \frac{T}{3}.

Тогда несложно найти предельную норму потребления в нулевом периоде. Она равна отношению потребления к доходу, т.е. mpc_0 = \frac{\frac{T}{3}}{T} = \frac{1}{3}.

2. C_1 = \frac{1}{2}(1 - \lambda)W_1 = \frac{1 - \lambda}{2}(T - C_0)

Из бюджетного ограничения: C_2 = T - C_0 - C_1 = T - C_0 - \frac{1 - \lambda}{2}(T - C_0) = (T - C_0)\frac{1 + \lambda}{2}

Подставляем всё в полезность:

U = 3T \cdot C_0 - C_0^2 + 3T \cdot \frac{1 - \lambda}{2}(T - C_0) - \frac{(1 - \lambda)^2}{4}(T - C_0)^2 + 3T \cdot \frac{1 + \lambda}{2}(T - C_0) - \frac{(1 + \lambda)^2}{4}(T - C_0)^2 =

= 3T \cdot C_0 - C_0^2 + 3T(T - C_0)\frac{1 - \lambda + 1 + \lambda}{2} - (T - C_0)^2\frac{(1 - \lambda)^2 + (1 + \lambda)^2}{4} = 3T \cdot C_0 - C_0^2 + 3T(T - C_0) -

-(T - C_0)^2 \frac{1 + \lambda^2}{2} = -\left(1 + \frac{1 + \lambda^2}{2}\right)C_0^2 + (1 + \lambda^2)T \cdot C_0 + 3T^2 - \frac{1 + \lambda^2}{2}T^2

Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз относительно C_0, значит максимум – в вершине.

C_0^* = \frac{(1 + \lambda^2)T}{3 + \lambda^2}

Теперь можем найти предельную склонность к потреблению: mpc_0 = \frac{\frac{(1 + \lambda^2)T}{3 + \lambda^2}}{T} = \frac{1 + \lambda^2}{3 + \lambda^2}

3. Найдём производную mpc по \lambda :

mpc'_\lambda = \frac{2\lambda(3 + \lambda^2) - 2\lambda(1 + \lambda^2)}{(3 + \lambda^2)^2} = \frac{4\lambda}{(3 + \lambda^2)^2}

Производная равна 0 при \lambda=0. Теперь определим минимум это или максимум:

mpc'' = \frac{4(3 + \lambda^2)^2 - 2 \cdot 2\lambda(3 + \lambda^2) \cdot 4\lambda}{(3 + \lambda^2)^4} mpc''(0) = \frac{4 \cdot 9}{81} = \frac{4}{9} > 0

Вторая производная больше 0, значит \lambda=0 – точка минимума для функции mpc, что по определению означает, что при любом отклонении от данной точки функция будет увеличиваться.