Средним гармоническим (HM) и средним арифметическим (AM) положительных чисел a_1,...,a_n называются величины

HM = \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n}} и AM = \dfrac{a_1 + \cdots + a_n}{n}.

a. Верно. Пусть (x_1,...,x_{31}) и (y_1,...,y_{31}) - места институтов X и Y соответственно по каждому из критериев. По условию x_i\leq y_i для всех i=1,...,31. Тогда \dfrac{1}{x_i} \geq \dfrac{1}{y_i} для всех i=1,...,n. Следовательно,

\frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_{31}} \geq \frac{1}{y_1} + \dots + \frac{1}{y_{31}} \quad \text{и} \quad \frac{31}{\frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_{31}}} \leq \frac{31}{\frac{1}{y_1} + \dots + \frac{1}{y_{31}}}.

б. Неверно. Приведем контрпример. Пусть в стране X и Y занимают следующие места: x_1=...=x_{16}=1, x_{17}=...=x_{31}=2 и y_1=...=y_{16}=2, y_{17}=...=y_{31}=1 соответственно. Тогда в стране X занимает первое место, а Y — второе. Пусть в мире места X и Y Y по этим же критериям таковы: \hat{x}_1 = \dots = \hat{x}_{16} = 1, \hat{x}_{17} = \dots = \hat{x}_{31} = 15 и \hat{y}_1 = \dots = \hat{y}_{16} = 2, \hat{y}_{17} = \dots = \hat{y}_{31} = 1. Так как \frac{31}{23} < \frac{31}{17}, то в мировом рейтинге Y расположен выше X .

в. При использовании среднего гармонического получают преимущество институты, которые добились серьезных успехов хотя бы по одному или нескольким критериям. Наоборот, если институт провалился по одному или нескольким критериям, то это не слишком сильно скажется на его общей позиции в рейтинге. При использовании среднего арифметического эффект от провалов был бы сильнее, а эффект от достижений —меньше. Таким образом, использование среднего гармонического стимулирует существенное продвижение институтов по отдельным критериям и нивелирует случайные провалы по отдельным критериям.

г. Сначала нужно потратить все деньги на продвижение по тому критерию, по которому университет достиг наилучших показателей на текущий момент (если таких критериев несколько, то можно выбрать любой один из них). Если после того, как университет стал первым по этому критерию, деньги остались, то нужно потратить все остатки на следующий наиболее успешный критерий и т.д. Геометрически оптимальность такой стратегии можно понять, если заметить следующее. Университет должен добиться минимального значения выражения

\frac{1}{\frac{1}{\hat{r}_1} + \dots + \frac{1}{\hat{r}_{31}}}

или, что то же самое, максимального значения выражения

\frac{1}{\hat{r}_1} + \dots + \frac{1}{\hat{r}_{31}}

(здесь \hat{r}_i — новое место университета по i -му критерию). Но функция f(x)=1/x выпукла вниз при x>0, поэтому максимальный прирост значения функции при уменьшении аргумента на 1 происходит при наименьшем значении аргумента. Аналогичный результат можно получить алгебраически, если зафиксировать все критерии кроме двух, перекинуть 1 единицу денег с одного критерия на другой и оценить разность рангов университета до переброски денег и после (окажется, что перекидывать деньги выгодно на более сильные направления).

Примечание:

N=31 по состоянию на март 2016 года. Большинство критериев основано на числе опубликованных работ и количестве цитирований.