Рейтинг RePEc
Рейтинг Research Papers in Economics (RePEc) ранжирует ученых, работающих в экономике и смежных областях, и целые экономические институты (далее будем считать, что ранжируются институты) по количеству и качеству научных публикаций. Общий принцип составления рейтинга выглядит так. Сначала фиксируется набор из N=31 критериев. После автоматического сбора и обработки информации о публикациях с помощью специальных алгоритмов по каждому критерию строится свой рейтинг: институт получает то или иное место внутри рассматриваемого региона R (регионом может быть страна, группа стран или весь мир). Затем для каждого института вычисляется среднее гармоническое всех его мест в регионе R по каждому из N критериев, по этой величине институты ранжируются в итоговом рейтинге (чем среднее гармоническое меньше, тем институт выше).
- Институт X занимает более высокие места в мире, чем институт Y , по каждому критерию. Верно ли, что в итоговом рейтинге X занимает более высокое место в мире, чем Y ?
- В своей стране в итоговом рейтинге институт X занимает более высокое место, чем институт Y . Верно ли, что X занимает более высокое место в мире, чем Y ?
- Посетитель сайта RePEc имеет возможность построить собственный рейтинг, выбрав вместо среднего гармонического другие меры агрегирования мест, в частности, среднее арифметическое. Какие преимущества может иметь использование среднего гармонического перед использованием среднего арифметического?
- Предположим, что все критерии независимы (то есть продвижение по одному из критериев ранжирования никак не связано с продвижениями по другим критериям). Университет Z находится в той области рейтинга, где его продвижение по каждому из критериев прямо пропорционально количеству вложенных в это направление ресурсов. А именно, если r_i — первоначальная позиция университета Z по критерию i, а m_i — вложенные в соответствующее направление деньги, то новое место университета Z будет равно \hat{r_i} = \max\{r_i - m_i; 1\}. Университет планирует потратить некоторую сумму денег M>0 на свое продвижение в рейтинге.
- Для простоты считайте, что любые суммы денег (в том числе потраченные на продвижение по отдельным критериям) могут измеряться только целыми числами.
- Как нужно потратить сумму M, чтобы добиться наилучшего прогресса?
Средним гармоническим (HM) и средним арифметическим (AM) положительных чисел a_1,...,a_n называются величины
HM = \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n}} и AM = \dfrac{a_1 + \cdots + a_n}{n}.
a. Верно. Пусть (x_1,...,x_{31}) и (y_1,...,y_{31}) - места институтов X и Y соответственно по каждому из критериев. По условию x_i\leq y_i для всех i=1,...,31. Тогда \dfrac{1}{x_i} \geq \dfrac{1}{y_i} для всех i=1,...,n. Следовательно,
\frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_{31}} \geq \frac{1}{y_1} + \dots + \frac{1}{y_{31}} \quad \text{и} \quad \frac{31}{\frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_{31}}} \leq \frac{31}{\frac{1}{y_1} + \dots + \frac{1}{y_{31}}}.
б. Неверно. Приведем контрпример. Пусть в стране X и Y занимают следующие места: x_1=...=x_{16}=1, x_{17}=...=x_{31}=2 и y_1=...=y_{16}=2, y_{17}=...=y_{31}=1 соответственно. Тогда в стране X занимает первое место, а Y — второе. Пусть в мире места X и Y Y по этим же критериям таковы: \hat{x}_1 = \dots = \hat{x}_{16} = 1, \hat{x}_{17} = \dots = \hat{x}_{31} = 15 и \hat{y}_1 = \dots = \hat{y}_{16} = 2, \hat{y}_{17} = \dots = \hat{y}_{31} = 1. Так как \frac{31}{23} < \frac{31}{17}, то в мировом рейтинге Y расположен выше X .
в. При использовании среднего гармонического получают преимущество институты, которые добились серьезных успехов хотя бы по одному или нескольким критериям. Наоборот, если институт провалился по одному или нескольким критериям, то это не слишком сильно скажется на его общей позиции в рейтинге. При использовании среднего арифметического эффект от провалов был бы сильнее, а эффект от достижений —меньше. Таким образом, использование среднего гармонического стимулирует существенное продвижение институтов по отдельным критериям и нивелирует случайные провалы по отдельным критериям.
г. Сначала нужно потратить все деньги на продвижение по тому критерию, по которому университет достиг наилучших показателей на текущий момент (если таких критериев несколько, то можно выбрать любой один из них). Если после того, как университет стал первым по этому критерию, деньги остались, то нужно потратить все остатки на следующий наиболее успешный критерий и т.д. Геометрически оптимальность такой стратегии можно понять, если заметить следующее. Университет должен добиться минимального значения выражения
\frac{1}{\frac{1}{\hat{r}_1} + \dots + \frac{1}{\hat{r}_{31}}}
или, что то же самое, максимального значения выражения
\frac{1}{\hat{r}_1} + \dots + \frac{1}{\hat{r}_{31}}
(здесь \hat{r}_i — новое место университета по i -му критерию). Но функция f(x)=1/x выпукла вниз при x>0, поэтому максимальный прирост значения функции при уменьшении аргумента на 1 происходит при наименьшем значении аргумента. Аналогичный результат можно получить алгебраически, если зафиксировать все критерии кроме двух, перекинуть 1 единицу денег с одного критерия на другой и оценить разность рангов университета до переброски денег и после (окажется, что перекидывать деньги выгодно на более сильные направления).
Примечание:
N=31 по состоянию на март 2016 года. Большинство критериев основано на числе опубликованных работ и количестве цитирований.