Все студенты, по мнению Антона, любят лавандовый раф на кокосовом молоке в «Груше» на Покровке. Но не все студенты — истинные гурманы, поэтому у каждого из их есть «уровень гурманства», выраженный параметром \theta \geq 0. При этом в центре Москвы настолько много кофеен, которые продают кофе, что их аж n на весь центр Москвы. Известно, что полезность потребления кофе в i -й кофейне, где i — целое число от 1 до n, составляет U_i=A_i+b_i\theta, где \theta — уровень гурманства конкретного студента и b_i — некоторые положительные параметры, а i — номер конкретной кофейни. При этом цены на кофе в каждой кофейне фиксированы и поэтому уже учтены в значении параметра A_i i, а каждый студент максимизирует свою полезность.

Пример: Если n=2, а A_1=2, A_2=3 и b_1=2, b_2=1, то студент с уровнем гурманства \theta=10 от посещения первой кофейни получит полезность равную U_1=2+2*10=22, а от второй — U_2=3+1*10=13. Следовательно, в таком случае студент выберет первую кофейню.

а) Допустим, что n=2 и A_1>A_2 и b_2>b_1, так как чем выше номер кофейни, тем выше там цена, поэтому и меньше A и выше качество кофе, следовательно, важнее для гурмана, поэтому больше b. Определите, студенты с каким уровнем гурманства будут покупать кофе в первой кофейне, а с каким — во второй.

б) Представим теперь, что количество кофеен все же n, но теперь известно, что A_i-A_{i-1}=-k и b_i-b_{i-1}= m для любого допустимого i, где k и m — некоторые положительные параметры. То есть по-прежнему, чем выше номер кофейни, тем дороже там кофе и, следовательно, меньше A, и лучше кофе, следовательно, выше b, но теперь они отличаются на одно и то же число. Для каждой кофейни найдите, потребители с каким уровнем гурманства будут покупать кофе в ней.

в) Верно ли то, что если A_i<A_{i-1} и b_i>b_{i-1} для любого допустимого i, то есть A_1>A_2>...>A_n и b_n>b_{n-1}>...>b_1, то для любой кофейни найдется потребитель с таким уровнем гурманства, что он будет покупать только в ней? Если да, то докажите, если нет, то приведите пример.