Упражнения на оптимизацию
Найдите точку глобального максимума и значение функции в ней для следующих функций:
a) f(x) = -x^2 + 8x - 7; \ x \in \mathbb{R}
б) f(x) = -x^2 + 12x - 20; \ x \in [0; 5]
в) f(x) = -x + 10 \sqrt{x} + 4; \ x \in [0; +\infty)
г) f(x) = (x^3 - 3x^2 - 9x + 1)^3; \ x \in [0; 4]
д) f(x) = \begin{cases} -x^2 + 7x - 40, & \text{если} \ x \in [0; 2) \\ x^3 - 12x^2 - 45x + 100, & \text{если} \ x \in [2; +\infty) \end{cases}
е) f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 20, & \text{если} \ x \in [0; 3) \\ -x^2 + 8x + 2, & \text{если} \ x \in [3; +\infty) \end{cases}
ж) f(x) = \max\{3 - x^2; x + 1\}; \ x \in [0; +\infty)
з) f(x) = -x^2 + 12x - 10; \ x \in [1; 4] \cup [8; 9]
и) f(x) = x^3 - 12x^2 + 36x + 3; \ x \in [0; 1] \cup [4; 5] \cup [6; 7]
к) f(x) = 3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x + 1; \ x \in [-2; 3]
л) f(x) = -x^2 + 4x + 10; \ x \in [0; a], \ a \in \mathbb{R}, \ a \geq 0
м) f(x) = ax^2 - 4x + 3; \ x \in [0; 10], a \in \mathbb{R}
н) f(x) = -x^2 + 2xy - y^2; \ x \in [0; +\infty), y \in \mathbb{R}
о) f(x) = -x^2 - 10xy - y^2 + 2; \ x \in [0; +\infty), y \in \mathbb{R}
п) f(x) = -x^2 + 8xy + 17y^2 - y^7; \ x \in [5; 10], y \in \mathbb{R}
р) f(y) = -x^2 + 6xy - y^2; \ y \in [0; +\infty), x \in \mathbb{R}
с) f(x) = -k^2x^2 + 2kx + y^2 - y^{42}; \ x \in [2; 8], y \in \mathbb{R}
т) f(x) = -\psi^2x^2 + \psi^3x + 11\psi^{7e} + \pi^\psi; \ x \in [0; \psi], \psi \in \mathbb{R}, \psi \geq 0
Ответ:
а) x=4, f(4)=9
б) x=5, f(5)=15
в) x=25, f(25)=29
г) x=0, f(0)=1 x=0, f(0)=1x=0, f(0)=1
д) x=\infty, f(\infty)=\infty
е) x=0, f(0)=20
ж) x=\infty, f(\infty)=\infty
з) x=4, x=8, f(4)=f(8)=22
и) x=1, f(1)=28
к) x=3, f(3)=46
л) При a \in [0; 2) \quad f_{\text{max}} = f(a) = -a^2 + 4a + 10
При a \in [2; \infty) \quad f_{\text{max}} = f(2) = 14
м) При a \leq 0{,}4 \quad f_{\text{max}} = f(0) = 3
При a > 0{,}4 \quad f_{\text{max}} = f(10) = 3
н) При y \geq 0 \quad f_{\text{max}} = f(y) = 0 \\ При y < 0 \quad f_{\text{max}} = f(0) = -y^2
о) При y \leq 0 \quad f_{\text{max}} = f(-5y) = 24y^2 + 2
При y > 0 \quad f_{\text{max}} = f(0) = -y^2 + 2
п) При y \leq 1{,}2 \quad f_{\text{max}} = f(5) = -25 + 40y + 17y^2 - y^7
При y \in (1{,}2; 2{,}5] \quad f_{\text{max}} = f(4y) = 33y^2 - y^7
При y > 2{,}5 \quad f_{\text{max}} = f(10) = -100 + 80y + 17y^2 - y^7
р) При x \geq 0 \quad f_{\text{max}} = f(3x) = 8x^2
При x < 0 \quad f_{\text{max}} = f(0) = -x^2
с) При k \in (-\infty; 0) \cup [0; 5; \infty) \quad f_{\text{max}} = f(2) = -4k^2 + 4k + y^2 - y^{42}
При k \in \left[\frac{1}{8}; 0{,}5\right) \quad f_{\text{max}} = f\left(\frac{1}{k}\right) = 1 + y^2 - y^{42}
При k \in (0; \frac{1}{8}) \quad f_{\text{max}} = f(8) = -64k^2 + 16k + y^2 - y^{42}
При k = 0 \quad f_{\text{max}} = y^2 - y^{42}
т) x = \frac{\psi}{2}, \quad f_{\text{max}} = \frac{1}{4}\psi^4 + 11\psi^{7e} + \pi^\psi