S012
Однажды Бивис и Баттхед пошли в лес собирать грибы и ягоды. КПВ Бивиса: Y_1=13-0,5X_1 ; КПВ Баттхеда: Y_2=8-X_2 (где X_1, X_2 – число собранных да день ягод, Y_1, Y_2 – число собранных за день грибов). Общая карта кривых безразличия Бивиса и Баттхеда представляет собой множество концентрических окружностей с центром в точке (24;24). Сколько грибов и ягод соберут Бивис и Баттхед, максимизируя свою общую функцию полезности?
Поскольку радиус в точке касания общей КПВ и кривой безразличия перпендикулярен касательной, AC и GE перпендикулярны. Отсюда следует, что \angle ACB = \angle DEF. Также можно заключить, что прямоугольные треугольники ABC и DEF подобны. Из подобия этих треугольников следует, что \frac{DF}{EF} = \frac{AB}{BC}. \quad \frac{DF}{24} = \frac{21 - 8}{26}. \quad DF = 12.
Используя координаты точек D (12;0) и E (24;24), найдем уравнение прямой DE :
\frac{Y - 0}{24 - 0} = \frac{X - 12}{24 - 12}; \quad Y - 2X + 24 = 0 \quad (1)
Используя координаты точек A (0;21) и C (26;8), найдем уравнение прямой AC :
\frac{Y - 21}{8 - 21} = \frac{X - 0}{26 - 0}; \quad Y + 0,5X - 21 = 0 \quad (2)
Решив систему уравнений (1) и (2), находим: X=18, Y=12.
Ответ. 18 ягод и 12 грибов.