МЭ 2021 9 задача 3
Вася и его друзья хотят купить несколько упаковок чипсов (x) и несколько литров газировки (y) для большой вечеринки. Они знают, что после употребления чипсов гости захотят пить, поэтому оптимальное количество продуктов описывается уравнением: y = x2. Для проведения вечеринки ребята смогли собрать 44 тугрика. Рядом с домом Васи находится магазин «А», в котором упаковка чипсов продаётся по цене 4 тугрика, а литр газировки стоит всего 1 тугрик. К сожалению, магазин «А» маленький, поэтому ребята не могут купить там более 3 упаковок чипсов. К счастью, они могут докупить неограниченное количество продуктов в торговом центре «Б»: цена на газировку там такая же, а вот чипсы стоят дороже (16 тугриков за упаковку). Сколько упаковок чипсов приобретут ребята в торговом центре, если они хотят закупить максимально возможное количество товаров с учётом условия о соотношении между продуктами?
Так как Вася хочет приобрести максимальное количество товаров, то он потратит все свои деньги. Рассмотрим все возможные комбинации чипсов и газировки, которые доступны Васе. Заметим, что в магазине «А» чипсы дешевле, чем в торговом центре. Поэтому если x \leq 3, то все чипсы закупаются в магазине, а газировка в любом месте на все оставшиеся средства.
Получаем y = 44 − 4x. Пусть x > 3. Тогда 3 упаковки чипсов Вася закупает в магазине, а оставшиеся чипсы – в торговом центре по 16 тугриков за штуку. На покупку газировки и чипсов в торговом центре у Васи будет 44 − 3 \cdot 4 = 32 тугрика. В торговом центре он купит (x − 3) упаковки чипсов по цене 16. Тогда максимальное количество литров газировки, которое может купить Вася при каком-то фиксированном количестве упаковок чипсов, находится из уравнения: 16(x − 3) + y = 32.
Получаем выражение для этого участка: y = 80 − 16x. Тогда все доступные Васе наборы (с учётом того, что Вася тратит все средства) удовлетворяют следующему соотношению:
y = \begin{cases} 44 - 4x, & x \leq 3 \\ 80 - 16x, & x \geq 3 \end{cases}
Вася приобретает продукты согласно уравнению y = x2. Так как он хочет закупить максимальное количество продуктов, а y убывает по x, нужная комбинация лежит на пересечении уравнения и ограничения, полученного ранее. Так как (3; 32) лежит выше точки (3; 9), то нам нужен второй кусок ограничения.
Получаем: 80 − 16x = x2 \rightarrow x = 4 упаковки чипсов. В торговом центре ребята приобретут 4 − 3 = 1 упаковку чипсов.