А) Найдём первые издержки:

TC_1 = 2f = 2\left(\frac{q_1^2 + 20q_1}{4}\right) = 10q_1 + 0.5q_1^2

Получим следующую картинку с предельными издержками, выделенными синими, и красной предельной выручкой.

Соответственно, Q=280, P=160, q_1=10, q_2=270, Pr=280*160-270*20-10(10+5)=39250.

Б) Пусть q_2=aq_1=\frac{aQ}{a+1}, так как хоть какое-то кол-во производится без примесей, иначе у нас гарантированно отберут лицензию, и мы не получим прибыль.

TC = 10q_1 + 0.5q_1^2 + 20q_2 = \frac{10 + 20a}{a + 1}Q + \frac{Q^2}{2(a + 1)^2}

Pr^e = \frac{1}{a + 1}\left(300Q - 0.5Q^2\right) - \frac{10 + 20a}{a + 1}Q - \frac{Q^2}{2(a + 1)^2} = \frac{Q(290 - 20a) - Q^2\frac{a^2 + a + 1}{2(a + 1)}}{a + 1} — это парабола ветвями вниз, максимум которой в вершине Q^* = \frac{(290 - 20a)(a + 1)}{a^2 + a + 1}, но при a>14,5 оптимальное кол-во отрицательно, значит оптимальным будет ближайшая к вершине доступная точка Q=0=Pr, поэтому этот случай можно не рассматривать, так как мы всегда можем выбрать a=0 и гарантированно получить положительную прибыль.

Тогда Pr^e = \frac{(290 - 20a)^2}{2(a^2 + a + 1)}, \quad a \geq 14.5. Раскроем квадрат и выделим целую часть:

Pr^e = 50\left(\frac{841 - 116a + 4a^2}{a^2 + a + 1}\right) = 50\frac{4(a^2 + a + 1) + 837 - 120a}{a^2 + a + 1} = 50\left(\frac{837 - 120a}{a^2 + a + 1} + 4\right),

где числитель монотонно убывает по a, а знаменатель возрастает, поэтому оптимум a=0. Тогда оптимально будет выбрать a=0, то есть избавиться от примесей и производить качественные соки, значит политика государства выполнила свою цель.

Ответ:

А) q_1/q_2=1/27, Pr=39250

Б) Да