Rich Dich.
Фирма по производству соков "Dich" может выпускать продукцию из натуральных
ингредиентов по технологии Q_1=-10+2\sqrt{25+f}, где f - кол-во фруктов, P_f=2 – цена фрукта. Также фирме может выпускать соки с примесями с уже посчитанными издержками TC_2=20Q. Потребители не умеют отличать натуральные соки от синтетических. В ходе анализа рынка был получен спрос P_d=300-0,5Q.
А) Найдите максимальную прибыль "Dich" и отношения объемов хороших и плохих соков. В ответ впишите прибыль.
Б) Теперь гос-во проводит медэкспертизу и отбирает лицензию, как и выручку, если находит соки с примесями в продаже. Вероятность нахождения примесей равна отношению q_2/Q. Помогите максимизировать ожидаемую прибыль фирме в одном периоде и ответьте, удастся ли увеличить долю качественных соков благодаря этой государственной мере вмешательства?
А) Найдём первые издержки:
TC_1 = 2f = 2\left(\frac{q_1^2 + 20q_1}{4}\right) = 10q_1 + 0.5q_1^2
Получим следующую картинку с предельными издержками, выделенными синими, и красной предельной выручкой.
Соответственно, Q=280, P=160, q_1=10, q_2=270, Pr=280*160-270*20-10(10+5)=39250.
Б) Пусть q_2=aq_1=\frac{aQ}{a+1}, так как хоть какое-то кол-во производится без примесей, иначе у нас гарантированно отберут лицензию, и мы не получим прибыль.
TC = 10q_1 + 0.5q_1^2 + 20q_2 = \frac{10 + 20a}{a + 1}Q + \frac{Q^2}{2(a + 1)^2}
Pr^e = \frac{1}{a + 1}\left(300Q - 0.5Q^2\right) - \frac{10 + 20a}{a + 1}Q - \frac{Q^2}{2(a + 1)^2} = \frac{Q(290 - 20a) - Q^2\frac{a^2 + a + 1}{2(a + 1)}}{a + 1} — это парабола ветвями вниз, максимум которой в вершине Q^* = \frac{(290 - 20a)(a + 1)}{a^2 + a + 1}, но при a>14,5 оптимальное кол-во отрицательно, значит оптимальным будет ближайшая к вершине доступная точка Q=0=Pr, поэтому этот случай можно не рассматривать, так как мы всегда можем выбрать a=0 и гарантированно получить положительную прибыль.
Тогда Pr^e = \frac{(290 - 20a)^2}{2(a^2 + a + 1)}, \quad a \geq 14.5. Раскроем квадрат и выделим целую часть:
Pr^e = 50\left(\frac{841 - 116a + 4a^2}{a^2 + a + 1}\right) = 50\frac{4(a^2 + a + 1) + 837 - 120a}{a^2 + a + 1} = 50\left(\frac{837 - 120a}{a^2 + a + 1} + 4\right),
где числитель монотонно убывает по a, а знаменатель возрастает, поэтому оптимум a=0. Тогда оптимально будет выбрать a=0, то есть избавиться от примесей и производить качественные соки, значит политика государства выполнила свою цель.
Ответ:
А) q_1/q_2=1/27, Pr=39250
Б) Да