Задача 2 ОЧ-2016 (8 класс)
У выигравшего в лотерею 100000 рублей учителя Николая Петровича есть два варианта распоряжения новоприобретенными деньгами – он может либо вложить их в дело своей жены, Натальи Сергеевны, чтобы расширить производство её компании по изготовлению шляпок, либо положить деньги в Банк «Выгодный» в качестве вклада (комбинировать два этих варианта нельзя).
Банк «Выгодный» предлагает Николаю Петровичу очень выгодную процентную ставку – 50\% годовых. (Процент начисляется в конце года на сумму, лежащую в банке на момент начисления, то есть с учётом предыдущих начислений). Наталья Сергеевна уверена, что, если Николай Петрович инвестирует деньги в её компанию, уже через 3 года она сможет вернуть ему эти деньги в тройном размере (за вычетом 9 -процентного налога на прибыль с окончательной суммы).
Пытаясь решить, как лучше поступить, Николай Петрович внимательно вчитывается в договор на вклад с Банком «Выгодный» и видит пункт мелким шрифтом, говорящий о том, что, начиная со второго года, Банк «Выгодный» будет уменьшать процентную ставку на фиксированное (X) количество процентных пунктов. Найдите максимальный X, при котором Николаю Петровичу будет выгодно отнести деньги в Банк, тем самым расстроив свою жену.
1) Вычислим, сколько денег Н. П. получит, если инвестирует выигрыш в компанию жены. Инвестиции вернут в тройном размере, за вычетом 9 процентного налога на прибыль с окончательной суммы.
100000*3=300000 р – прибыль до налога.
300000*(1,00-0,09)=273000 р – столько Н. П. получит денег, если отдаст их жене.
2) Если Н. П. отнесет деньги в Банк «Выгодный», то:
к концу первого года он будет иметь 100000*(1+0,5)=150000 р.
к концу второго года (когда Банк уменьшит ставку на X\% ) 150000+150000*(0,5-X) р
к концу третьего года (ставка уменьшится еще на X\% ) на счету будет:
150000 + 150000 \times (0,5 - X) + [150000 + 150000 \times (0,5 - X)] \times (0,5 - 2X) \cdot p
3) Теперь составим уравнение. Необходимо найти максимальный X, при котором будет выгодно отнести деньги в Банк.
То есть:
150000 + 150000 \times (0,5 - X) + [150000 + 150000 \times (0,5 - X)] \times (0,5 - 2X) \geq 273000
Для удобства (и так как нам надо найти максимальный X ) будем рассматривать равенство данного выражения.
150000 + 150000 \times (0,5 - X) + [150000 + 150000 \times (0,5 - X)] \times (0,5 - 2X) = 273000 \\150 + 150 \times (0,5 - X) + (150 + 75 - 150X) \times (0,5 - 2X) = 273 \\ 150 + 75 - 150X + (225 - 150X) \times (0,5 - 2X) = 273 \\ 225 - 150X + 112,5 - 450X - 75X + 300X^2 - 273 = 0 \\ 300X^2 - 675X + 64,5 = 0 \\ X^2 - 2,25X + 0,215 = 0
(X-0,1)*(X-2,15)=0 здесь можно воспользоваться формулой дискриминанта) X=2,15 – корень не подходит
X=0,1 – ответ
Ответ:
Максимальный X, при котором Николаю Петровичу будет выгодно отнести деньги в Банк «Выгодный», равен 10 процентным пунктам.