а) Прибыли заводов без квотирования:

\pi_i(q_i) = iq_i - \frac{q_i^2}{4}

Это квадратичная функции, ветви парабол направлены вниз, вершина q_i=2i.

В отсутствие квот суммарные выбросы равны

\frac{(2 + 4 + \dots + 30)}{2} = 1 + 2 + \dots + 15 = 120

Ограничение на выброс вредных веществ означает, что q_i\leq 3*2=6. Получается, что заводы с номерами 1, 2, 3 смогут произвести свой оптимальный выпуск, а остальным придется сократить его до 6 единиц. В этом случае суммарные выбросы составят

\frac{(2 + 4 + 6 + 6 \cdot 12)}{2} = 42

Получается, что введение квот позволяет сократить выбросы на 78 единиц.

б) Прибыль завода i равна

\pi_i(q_i) = iq_i - \frac{q_i^2}{4} + t\left(3 - \frac{q_i}{2}\right)

Последнее слагаемое "--- выручка или затраты, связанные с торговлей квотами. Если завод производит менее 6 единиц продукции, то q_i/2<3, в равновесии завод продаст излишнюю квоту и последнее слагаемое будет положительно. Если, напротив, завод производит более 6 единиц продукции, то q_i/2>3, заводу нужно докупать квоты и последнее слагаемое отрицательно.

Прибыль - квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, вершина q_i=2i-t. Это будет оптимальный выпуск только для тех заводов, номер которых в равновесии будет больше, чем половина цены квоты; у остальных q_i=0, так как их функции прибыли являются убывающими. Таким образом, для каждого завода спрос на дополнительные квоты будет равен

z_i = \frac{q_i}{2} - 3 = \begin{cases} i - \frac{t}{2} - 3, & i > \frac{t}{2}; \\ -3, & i \leq \frac{t}{2}. \end{cases}

Если эта величина отрицательна, то завод предъявляет предложение квот, а если величина положительна, то завод предъявляет спрос на квоты. В равновесии сумма всех z_i должна равняться нулю, чтобы рынок квот был сбалансирован. Пусть есть m заводов, не производящих ничего и продающих всю квоту в размере 3 ед. (это заводы с номерами 1,...,m ), тогда есть 15-m заводов, которые производят ненулевой выпуск (это заводы с номерами m+1,...,15 ). Значит, на рынке квот

-3m + \frac{(15 - m)(16 + m)}{2} - \frac{(15 - m)t}{2} - 3(15 - m) = 0

Преобразовав, получим

\frac{t}{2} = \frac{16 + m}{2} - \frac{45}{15 - m}

При этом, чтобы заводы с первого по m -тый производили 0, а остальные "--- положительный выпуск, в силу выражения для z_i должно выполняться m\leq t/2<m+1. Подставляя выражение для t/2 и решая левое неравенство, получаем m\leq 6 (из неравенства m^2-31m+150\geq 0 ). Решая правое неравенство, получаем m>5 (из неравенства m^2-29m+120<0 ). Итак, получаем, что m\in (5; 6]. Поскольку m - натуральное число, m=6.

Значит, в равновесии t=2m=12. Таким образом, первые 6 заводов (номера 1-6 ) ничего не производят (а продают свои квоты), и их выбросы равны нулю. Выбросы заводов с 7 -го по 15 -ый равны 1,2,...,9 единиц соответственно. Сумма выбросов равна 45.

в) Плюсы торгуемых квот:

Стимулы действуют постоянно. Стимулы сокращать выбросы при использовании торгуемых разрешений остаются независимо от уже достигнутого уровня выбросов, в отличие от применения инструмента жестких квот, когда достаточно сократить выбросы до заданного потолка, а дальше сокращать нет смысла.
Сокращения распределяются эффективно. С точки зрения общества важен не только суммарный объем выбросов но и то, как он распределяется между заводами. Нужно, чтобы более ценные для общества блага производились в большем объеме, чем менее ценные. Рынок квот позволяет учитывать информацию об относительной ценности и редкости благ через спрос фирм на квоты.