Торговля квотами
Горный хребет Y., как и многие горные системы, богат месторождениями различных металлических руд: под землей находятся залежи руды 15 видов металлов. Соответственно, есть 15 заводов, каждый из которых специализируется на добыче одного вида руды (не такой, как у остальных) и извлечении из нее металла. Свою продукцию (металл) заводы продают по ценам 1, 2,...,15 д.е. за тонну, а технология производства у всех них одинакова: для изготовления из любой руды q тонн соответствующего металла необходимо потратить q^2/4 д.е. Однако металлургическое производство сопровождается выбросами вредных веществ, которые наносят сильный ущерб экологии: производство тонны любого металла связано с выбросом 0,5 ед. загрязняющих веществ. В связи с этим правительство региона вводит квоты на загрязнение окружающей среды: каждый завод отныне может выбросить не более 3 единиц вредных веществ.
а). ( 2 балла) На какую величину удастся сократить выбросы вредных веществ после введения квот?
б). ( 5 баллов) Предположим теперь, что заводы имеют право продавать квоты другим заводам и покупать их у других заводов. Рынок квот на выбросы совершенно конкурентный: заводы взаимодействуют так, как будто ни один из них не имеет влияния на цену квоты, воспринимая ее как заданную. Квоты бесконечно делимы (то есть можно, например, продать или купить квоту на право выбросить 0,08 ед. веществ или любого другого количества). Чему в равновесии будет равна цена квоты на единицу загрязнения? (Обозначьте ее за t.) Чему будут равны выбросы каждого из заводов?
в). ( 2 балла) Если вы правильно решили предыдущие пункты, то вы получили, что появление рынка эмиссионных квот увеличивает выбросы. При этом организация такого рынка потребовала бы существенных затрат от государства и его участников. Вместе с тем, подобные механизмы иногда создаются (самый известный пример - Киотский протокол). Приведите одно объяснение, почему это происходит.
а) Прибыли заводов без квотирования:
\pi_i(q_i) = iq_i - \frac{q_i^2}{4}
Это квадратичная функции, ветви парабол направлены вниз, вершина q_i=2i.
В отсутствие квот суммарные выбросы равны
\frac{(2 + 4 + \dots + 30)}{2} = 1 + 2 + \dots + 15 = 120
Ограничение на выброс вредных веществ означает, что q_i\leq 3*2=6. Получается, что заводы с номерами 1, 2, 3 смогут произвести свой оптимальный выпуск, а остальным придется сократить его до 6 единиц. В этом случае суммарные выбросы составят
\frac{(2 + 4 + 6 + 6 \cdot 12)}{2} = 42
Получается, что введение квот позволяет сократить выбросы на 78 единиц.
б) Прибыль завода i равна
\pi_i(q_i) = iq_i - \frac{q_i^2}{4} + t\left(3 - \frac{q_i}{2}\right)
Последнее слагаемое "--- выручка или затраты, связанные с торговлей квотами. Если завод производит менее 6 единиц продукции, то q_i/2<3, в равновесии завод продаст излишнюю квоту и последнее слагаемое будет положительно. Если, напротив, завод производит более 6 единиц продукции, то q_i/2>3, заводу нужно докупать квоты и последнее слагаемое отрицательно.
Прибыль - квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, вершина q_i=2i-t. Это будет оптимальный выпуск только для тех заводов, номер которых в равновесии будет больше, чем половина цены квоты; у остальных q_i=0, так как их функции прибыли являются убывающими. Таким образом, для каждого завода спрос на дополнительные квоты будет равен
z_i = \frac{q_i}{2} - 3 = \begin{cases} i - \frac{t}{2} - 3, & i > \frac{t}{2}; \\ -3, & i \leq \frac{t}{2}. \end{cases}
Если эта величина отрицательна, то завод предъявляет предложение квот, а если величина положительна, то завод предъявляет спрос на квоты. В равновесии сумма всех z_i должна равняться нулю, чтобы рынок квот был сбалансирован. Пусть есть m заводов, не производящих ничего и продающих всю квоту в размере 3 ед. (это заводы с номерами 1,...,m ), тогда есть 15-m заводов, которые производят ненулевой выпуск (это заводы с номерами m+1,...,15 ). Значит, на рынке квот
-3m + \frac{(15 - m)(16 + m)}{2} - \frac{(15 - m)t}{2} - 3(15 - m) = 0
Преобразовав, получим
\frac{t}{2} = \frac{16 + m}{2} - \frac{45}{15 - m}
При этом, чтобы заводы с первого по m -тый производили 0, а остальные "--- положительный выпуск, в силу выражения для z_i должно выполняться m\leq t/2<m+1. Подставляя выражение для t/2 и решая левое неравенство, получаем m\leq 6 (из неравенства m^2-31m+150\geq 0 ). Решая правое неравенство, получаем m>5 (из неравенства m^2-29m+120<0 ). Итак, получаем, что m\in (5; 6]. Поскольку m - натуральное число, m=6.
Значит, в равновесии t=2m=12. Таким образом, первые 6 заводов (номера 1-6 ) ничего не производят (а продают свои квоты), и их выбросы равны нулю. Выбросы заводов с 7 -го по 15 -ый равны 1,2,...,9 единиц соответственно. Сумма выбросов равна 45.
в) Плюсы торгуемых квот:
- Стимулы действуют постоянно. Стимулы сокращать выбросы при использовании торгуемых разрешений остаются независимо от уже достигнутого уровня выбросов, в отличие от применения инструмента жестких квот, когда достаточно сократить выбросы до заданного потолка, а дальше сокращать нет смысла.
- Сокращения распределяются эффективно. С точки зрения общества важен не только суммарный объем выбросов но и то, как он распределяется между заводами. Нужно, чтобы более ценные для общества блага производились в большем объеме, чем менее ценные. Рынок квот позволяет учитывать информацию об относительной ценности и редкости благ через спрос фирм на квоты.