Экономика и шахматы.
Дмитрий играет в шахматы (X) и занимается экономикой (Y). Для занятий экономикой и игры в шахматы, ему нужен сон (K) и умственная энергия (L).
При этом функции производственных возможностей такие:
x=K_x^2+L_x^2
y=2K_y^2+2L_y^2
Всего у него есть 20 K и 50L.
А) Постройте КПВ Дмитрия.
B) Как изменится его КПВ, если K и L возрастут в t раз?
Г) Дмитрий хочет выиграть шахматный турнир и олимпиаду по экономике. Для одного выигранного шахматного турнира ему нужно 4x, а для одной олимпиады по экономике 8y. Если предположить, что он может выигрывать нецелое число олимпиад и шахматных турниров, то сколько таких наборов он получит в оптимуме
А) У нас есть две производственные функции, нам нужно вывести уравнение КПВ.
x = K_x^2 + L_x^2 y = 2K_y^2 + 2L_y^2
K_x + K_y = 20 L_y + L_x = 50
Посмотрим сколько максимум мы сможем произвести y. Максимум мы сможем получить 5800. (подставив K_y=20, L_y=50 )
теперь мы думаем, каким самым рациональным способом мы начнем производить x ?
У нас есть два варианта. Перекидывать ресурсы на K_x или на L_x.
Пусть мы сначала зафиксируем L_y и начнем перебрасывать ресурсы капитала на производство X, тогда мы получим.
x = K_x^2 y = 2(20 - K_x)^2 + 5000
K_x = \sqrt{x} y = 5800 - 80 \cdot \sqrt{x} + 2x 0 \leq x \leq 400
Так как максимум мы сможем получить 400x.
Посмотрим. Можем ли мы получить КПВ выше, если начнем вкладывать не капитал, а труд?
Пусть теперь мы зафиксировали K_y=20
x = L_x^2
y = 800 + 2(50 - L_x)^2
y = 800 + 2(50 - \sqrt{x})^2
y = 5800 - 200\sqrt{x} + 2x
Как видим это КПВ лежит нижу нашей первоначальной. И некоторые точки перестали быть доступными.
Следовательно, не выгодно сначала перебрасывать L теперь посмотрим, стоит ли нам одновременно перемещать и труд и капитал.
y = 5800 - 200L_x + 2L_x^2 - 80K_x + 2K_x^2
x = L_x^2 + K_x^2
y = 5800 + 2x - 40(5L_x + 2K_x)
x = K_x^2 + L_x^2
L_x = \sqrt{x - K_x^2}
y = 5800 + 2x - 40\left(5\sqrt{x - K_x^2} - 2K_x\right) \rightarrow \max
\frac{dy}{dK_x} = 0
6.25K_x + K_x^2 = x
Решим уравнение относительно K_x
K_x = \frac{-6.25 + \sqrt{6.25^2 + 4x}}{2}
Теперь запишем y(x)
y(x) = 5800 + 2x - 40\left(5\left(\sqrt{x - \left(\frac{-6.25 + \sqrt{6.25^2 + 4x}}{2}\right)^2}\right) + 2 \cdot \left(\frac{-6.25 + \sqrt{6.25^2 + 4x}}{2}\right)\right)
Как мы видим, самым рациональным решением было изначально перебрасывать капитал в X. График y(x) написанный выше можете построить сами, и понять, что он лежит ниже. теперь нам ничего не остается, кроме как перебрасывать Труд в товар X. После того как мы отдали весь капитал в X
X = 400 + L_x^2
y = 2(50 - L_x)^2
y = 4200 + 2x - 200\sqrt{x - 400}
Максимум мы сможем произвести 2900x.
Но мы можем произвести БОЛЬШЕ. больше всего. Как же это сделать?
Например, сначала на первом отрезке перекладывать не K, а L а затем уже перекладывать капитал. Посмотрим, будет ли этот график лежать выше данного. Ну и затем возьмем верхнюю огибающую.
y = 5800 - 200\sqrt{x} + 2x
Это если бы мы сначала перекладывали бы из y в x труд, а затем:
x = 2500 + K_x^2
y = 2(20 - K_x)^2
y = -4200 - 800\sqrt{x - 2500} + 2x
Таким образом решением будет наша верхняя огибающая
Запишем ответ: Y(x) = \begin{cases} 5800 - 80\sqrt{x} + 2x & 400 \geq x \geq 0 \\ 4200 + 2x - 200\sqrt{x - 400} & 841 \geq x > 400 \\ 5800 - 200\sqrt{x} + 2x & 2500 \geq x > 841 \\ -4200 - 80\sqrt{x - 2500} + 2x & 2900 \geq x > 2500 \end{cases}
B) по сути тут нужно проделать тот мазохизм с самого начала. просто теперь вместо K и L будет K_t, L_t. ну и получим другую систему с t. Не факт, что в t^2 раз. Этот пункт крайне противно делать, особенно если вы прошли через пункт A.
Г) Пересечем наше КПВ с функцией 4y=8x. Получим, что она так красиво пересекает наше КПВ в точке 841 по x и 1628 по y.
Таким образом Дмитрий сможет потребить 210,25 комплектов.