А) У нас есть две производственные функции, нам нужно вывести уравнение КПВ.

x = K_x^2 + L_x^2 y = 2K_y^2 + 2L_y^2

K_x + K_y = 20 L_y + L_x = 50

Посмотрим сколько максимум мы сможем произвести y. Максимум мы сможем получить 5800. (подставив K_y=20, L_y=50 )

теперь мы думаем, каким самым рациональным способом мы начнем производить x ?

У нас есть два варианта. Перекидывать ресурсы на K_x или на L_x.

Пусть мы сначала зафиксируем L_y и начнем перебрасывать ресурсы капитала на производство X, тогда мы получим.

x = K_x^2 y = 2(20 - K_x)^2 + 5000

K_x = \sqrt{x} y = 5800 - 80 \cdot \sqrt{x} + 2x 0 \leq x \leq 400

Так как максимум мы сможем получить 400x.

Посмотрим. Можем ли мы получить КПВ выше, если начнем вкладывать не капитал, а труд?

Пусть теперь мы зафиксировали K_y=20

x = L_x^2

y = 800 + 2(50 - L_x)^2

y = 800 + 2(50 - \sqrt{x})^2

y = 5800 - 200\sqrt{x} + 2x

Как видим это КПВ лежит нижу нашей первоначальной. И некоторые точки перестали быть доступными.

Следовательно, не выгодно сначала перебрасывать L теперь посмотрим, стоит ли нам одновременно перемещать и труд и капитал.

y = 5800 - 200L_x + 2L_x^2 - 80K_x + 2K_x^2

x = L_x^2 + K_x^2

y = 5800 + 2x - 40(5L_x + 2K_x)

x = K_x^2 + L_x^2

L_x = \sqrt{x - K_x^2}

y = 5800 + 2x - 40\left(5\sqrt{x - K_x^2} - 2K_x\right) \rightarrow \max

\frac{dy}{dK_x} = 0

6.25K_x + K_x^2 = x

Решим уравнение относительно K_x

K_x = \frac{-6.25 + \sqrt{6.25^2 + 4x}}{2}

Теперь запишем y(x)

y(x) = 5800 + 2x - 40\left(5\left(\sqrt{x - \left(\frac{-6.25 + \sqrt{6.25^2 + 4x}}{2}\right)^2}\right) + 2 \cdot \left(\frac{-6.25 + \sqrt{6.25^2 + 4x}}{2}\right)\right)

Как мы видим, самым рациональным решением было изначально перебрасывать капитал в X. График y(x) написанный выше можете построить сами, и понять, что он лежит ниже. теперь нам ничего не остается, кроме как перебрасывать Труд в товар X. После того как мы отдали весь капитал в X

X = 400 + L_x^2

y = 2(50 - L_x)^2

y = 4200 + 2x - 200\sqrt{x - 400}

Максимум мы сможем произвести 2900x.

Но мы можем произвести БОЛЬШЕ. больше всего. Как же это сделать?

Например, сначала на первом отрезке перекладывать не K, а L а затем уже перекладывать капитал. Посмотрим, будет ли этот график лежать выше данного. Ну и затем возьмем верхнюю огибающую.

y = 5800 - 200\sqrt{x} + 2x

Это если бы мы сначала перекладывали бы из y в x труд, а затем:

x = 2500 + K_x^2

y = 2(20 - K_x)^2

y = -4200 - 800\sqrt{x - 2500} + 2x

Таким образом решением будет наша верхняя огибающая

Запишем ответ: Y(x) = \begin{cases} 5800 - 80\sqrt{x} + 2x & 400 \geq x \geq 0 \\ 4200 + 2x - 200\sqrt{x - 400} & 841 \geq x > 400 \\ 5800 - 200\sqrt{x} + 2x & 2500 \geq x > 841 \\ -4200 - 80\sqrt{x - 2500} + 2x & 2900 \geq x > 2500 \end{cases}

B) по сути тут нужно проделать тот мазохизм с самого начала. просто теперь вместо K и L будет K_t, L_t. ну и получим другую систему с t. Не факт, что в t^2 раз. Этот пункт крайне противно делать, особенно если вы прошли через пункт A.

Г) Пересечем наше КПВ с функцией 4y=8x. Получим, что она так красиво пересекает наше КПВ в точке 841 по x и 1628 по y.

Таким образом Дмитрий сможет потребить 210,25 комплектов.