Фруктовая страна (10-11)
Во Фруктовой Стране есть три региона (A, B, C), в каждом из которых выращивают персики (X) и бананы (Y). В каждом из регионов КПВ имеет линейный вид; альтернативные издержки производства персиков положительны, и в регионе A они больше, чем в регионе B, а в регионе B больше, чем в регионе C. Максимально возможное количество произведенных персиков в каждом из регионов одинаково и равно 24 тонны. Максимально возможное производство бананов в стране равно 104 тонны.
Страна потребляет персики и бананы только в пропорции 1:1 и максимизирует потребление фруктов. Известно, что в условиях закрытой экономики каждый из фруктов производился более, чем в одном регионе. Hа мировом рынке можно обменять 1 тонну персиков на 1 тонну бананов. После того как страна открылась для международной торговли, стране стало безразлично, сколько персиков и бананов производить в одном из регионов (при оптимальных уровнях производства в других регионах).
В результате открытия международной торговли потребление как персиков, так и бананов в стране выросло на Z>0 тонн. Какие значения может принимать Z ?
Для удобства проверки при построении КПВ указывайте количество произведенных персиков по горизонтали. Кроме того, если вы будете решать задачу аналитически (что необязательно), обозначьте альтернативные издержки (а. и.) производства персиков в регионах за a, b и c, a>b>c>0.
Всю задачу можно решить двумя способами – либо с помощью геометрических соображений, не вводя уравнения КПВ регионов в общем виде аналитически, либо вводя эти уравнения. В дальнейшем мы будем приводить оба этих способа (конечно, участнику достаточно решить задачу каким-нибудь одним из способов, причем их можно комбинировать, то есть получить какие-то из выводов геометрически, а какие-то – аналитически).
Заметим, что луч Y=X пересекает КПВ страны на «среднем» участке, так как каждый из товаров производится более чем в одном регионе. Тогда из геометрических соображений видно, что точка (48:48) должна находиться выше КПВ страны. Для дальнейшего решения геометрическим способом этого наблюдения достаточно.
Решая аналитически, получаем, что уравнения КПВ в трех регионах имеют вид Y=a(24-X), Y=b(24-X), Y=c(24-X). Поскольку КПВ страны является суммой трех линейных КПВ, она вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), и значит участок общей КПВ, соответствующий региону A, является самым правым. Тогда уравнение КПВ страны на этом участке имеет вид Y=a(72-X). Пересечение этой прямой и прямой Y=X должно произойти при X<48. Точка пересечения имеет абсциссу 72a/(a+1)<48, откуда a<2. Это аналитический вариант условия о том, что точка (48:48) должна находиться выше КПВ страны.
Альтернативные издержки в одном из регионов должны равняться 1, так как стране неважно, сколько каких товаров производить в этом регионе после открытия торговли. Рассмотрим три случая.
а) Допустим, а. и. равны 1 в регионе A.
Способ 1. Поскольку КПВ страны является суммой трех линейных КПВ, она вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), и значит участок общей КПВ, соответствующий региону A, является самым правым. Тогда уравнение КПВ страны на этом участке имеет вид Y=72-X . И снова, поскольку КПВ страны вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), вся КПВ лежит под прямой Y=72-X . В этом случае максимальный объем производства бананов в стране не больше 72, а по условию он равен 104. Противоречие.
Способ 2. Уравнения КПВ в трех регионах имеют вид Y=a(24-X), Y=b(24-X), Y=c(24-X). Тогда максимальное производство бананов равно 24(a+b+c)<24*3a=72. По условию же оно равно 104. Противоречие.
b) Допустим, а. и. равны 1 в регионе B.
Способ 1. Поскольку участок общей КПВ, соответствующий регионуB, является «средним», при открытии международной торговли объемы потребления не изменятся, а по условию Z>0. Противоречие.
Способ 2. Поскольку точка (48:48) лежит над КПВ и поскольку наклон КПВ на среднем участке равен 1, вся КПВ, в силу своей вогнутости (выпуклости вверх, выполнения закона возрастающих а. и.) должна лежать под прямой Y=96-X , а значит, максимальное производство бананов в стране меньше 96. По условию же оно равно 104. Противоречие.
Способ 3. Поскольку b=1 и c<b, а по выведенному выше a<2, максимальное производство бананов, равное 24(a+b+c), меньше 24*4=96. По условию же оно равно 104. Противоречие.
с) Значит, а. и. равны 1 в регионе C. Поскольку выполняется закон возрастающих альтернативных издержек, регион C соответствует верхнему участку КПВ страны. Значит, уравнение КПВ на этом участке имеет вид Y=104-X . Кроме того, такое уравнение имеет прямая, вдоль которой страна обменивается товарами с другими странами. Значит, объемы потребления после открытия торговли определяются из пересечения прямых Y=104-X и Y=X, откуда X=Y=52.
Для ответа на вопрос задачи осталось определить, какие значения может принимать потребление фруктов в условиях закрытой экономики.
Заметим, что точка (24;80) является точкой излома КПВ, а точка (72;0) лежит на КПВ. Соединим эти точки прямой. Ее уравнение имеет вид Y=120-5X/3. Поскольку КПВ вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), КПВ не может лежать ниже этой прямой. Значит, объемы потребления в отсутствие торговли не меньше, чем те, что получаются при пересечении прямых Y=120-5X/3 и Y=X . Эти объемы равны 45.
Наконец, по сказанному выше, точка (48;48) лежит выше КПВ страны, и поэтому объемы потребления в условиях закрытой экономики меньше 48. Значит, объемы потребления в условиях закрытой экономики лежат в пределах от 45 до 48, не включая границы. Граница 48 не включается, так как в противном случае оказалось бы, что точка (48;48) лежит на КПВ, а это не так. Граница 45 не включается, так как в противном случае оказалось бы, что альтернативные издержки в регионах A и B одинаковы, а по условию это не так.
Легко убедиться графически, что все промежуточные объемы между 45 и 48 возможны. Отсюда получаем, что выигрыш страны от торговли Z\in(52-48; 52-45)=(4;7).
Ответ:
Z\in(4;7)