Пусть сумма кредита равна S_0, ежемесячный платеж равен X, а ставка процента равна 100 i процентов в месяц. Выразим X через S_0. Для этого изучим, как сумма долга Ивана будет меняться со временем.

- Сумма долга на конец первого месяца равна:

S_1 = (S_0(1 + i) - X).

- Через месяц после получения кредита сумма долга Ивана составит S_0(1 + i) - X .

- Через два месяца сумма долга составит:

S_2 = (S_0(1 + i) - X)(1 + i) - X = S_0(1 + i)^2 - X(1 + i) - X.

- Через три месяца сумма долга составит:

S_3 = (S_0(1 + i) - X)(1 + i)^2 - X(1 + i)^3 - X(1 + i)^2 - X.

Платеж X подбирается так, чтобы в конце срока, то есть через T месяцев, долг был равен нулю:

S_0(1 + i)^T - X(1 + i)^{T - 1} - X(1 + i)^{T - 2} - \dots - X(1 + i) - X = 0.

S_0(1 + i)^T = X(1 + (1 + i) + (1 + i)^2 + \dots + (1 + i)^{T - 1}).

Пользуясь формулой для суммы конечной геометрической прогрессии, данной в условии, получаем:

S_0(1 + i)^T = X \frac{1 - (1 + i)^T}{1 - 1 - i} = X \frac{(1 + i)^T - 1}{i}.

Отсюда:

X = \frac{S_0(1 + i)^T i}{(1 + i)^T - 1} = \frac{S_0 i}{1 - (1 + i)^{-T}}.

В случае ипотеки от банка платеж вычисляется по формуле (7.4) при S_0 = P(1 - d), i = R, то есть:

X = \frac{P(1 - d)(1 + R)^T R}{(1 + R)^T - 1}.

В случае ипотеки от застройщика платеж вычисляется по формуле (7.4) при S_0 = P, i = r, то есть:

X = \frac{P(1 + r)^T r}{(1 + r)^T - 1}.

Значит, при ипотеке от банка платеж меньше, когда:

\frac{P(1 - d)(1 + R)^T R}{(1 + R)^T - 1} < \frac{P(1 + r)^T r}{(1 + r)^T - 1}.

Сокращая на P и выражая d, получаем, что ипотека от банка выгоднее при:

d > 1 - \frac{r (1 + i)^T (1 + i)^T - 1}{R (1 + r)^T - 1}

Это условие можно записать компактнее:

d > 1 - \frac{r \left( 1 - (1 + R)^{-T} \right)}{R \left( 1 - (1 + r)^{-T} \right)}

или

d > 1 - \frac{r \left( 1 - \frac{1}{(1 + R)^T} \right)}{R \left( 1 - \frac{1}{(1 + r)^T} \right)}.

Примечания:

- «Ипотека от застройщика» получила распространение в России в последние годы. Ставка процента по такой ипотеке зачастую крайне низка (вплоть до 1 % годовых), однако такая ипотека не всегда выгоднее, чем ипотека от банка. Цена покупки квартиры по такой ипотеке выше из-за того, что не предоставляется скидка.

- Схема возврата кредита с постоянным платежом, описанная в задаче, является одной из самых распространенных на практике. Такая схема называется аннуитетной.