Ипотека от застройщика
Иван может купить квартиру в новостройке стоимостью , взяв ипотеку. У Ивана есть две опции:
-
Взять ипотеку в банке на срок месяцев. В этом случае ставка процента составит 100 процентов в месяц. При этом застройщик предоставит Ивану скидку на квартиру: вместо , стоимость квартиры для Ивана составит , где — размер скидки.
-
Взять «ипотеку от застройщика» на срок месяцев. В этом случае ставка процента на кредит составит 100 процентов в месяц, где . Однако скидку на квартиру Иван не получит, и ему придется брать кредит на всю сумму .
В обоих случаях проценты начисляются раз в месяц по схеме сложных процентов, при этом выплаты осуществляются так, что каждый месяц они одинаковы. Этот платеж каждый месяц вычисляется из суммы долга после начисления процентов. Например, если изначальная сумма долга равна , платеж равен , а ставка процента равна 100 процентов в месяц, то долг на конец первого месяца будет равен , долг на конец второго месяца будет равен , и так далее. Платеж подбирается так, чтобы в конце срока кредита долг Ивана был равен нулю.
Иван хочет, чтобы его ежемесячный платеж по ипотеке был как можно меньше. Определите, при каких значениях ипотека от банка (опция 1) для Ивана строго предпочтительнее, чем ипотека от застройщика (опция 2). Ваш ответ должен зависеть только от параметров (возможно, их частей). При решении используйте обозначение для суммы долга через месяцев и для платежа, как выше.
Для справки. Верно тождество:
Для получения полного балла, пожалуйста, примените эту формулу.
Ответ
Пусть сумма кредита равна , ежемесячный платеж равен , а ставка процента равна 100 процентов в месяц. Выразим через . Для этого изучим, как сумма долга Ивана будет меняться со временем.
- Сумма долга на конец первого месяца равна:
-
Через месяц после получения кредита сумма долга Ивана составит .
-
Через два месяца сумма долга составит:
- Через три месяца сумма долга составит:
Платеж подбирается так, чтобы в конце срока, то есть через месяцев, долг был равен нулю:
Пользуясь формулой для суммы конечной геометрической прогрессии, данной в условии, получаем:
Отсюда:
В случае ипотеки от банка платеж вычисляется по формуле (7.4) при , , то есть:
В случае ипотеки от застройщика платеж вычисляется по формуле (7.4) при , , то есть:
Значит, при ипотеке от банка платеж меньше, когда:
Сокращая на и выражая , получаем, что ипотека от банка выгоднее при:
Это условие можно записать компактнее:
или
Примечания:
- «Ипотека от застройщика» получила распространение в России в последние годы. Ставка процента по такой ипотеке зачастую крайне низка (вплоть до 1 % годовых), однако такая ипотека не всегда выгоднее, чем ипотека от банка. Цена покупки квартиры по такой ипотеке выше из-за того, что не предоставляется скидка.
- Схема возврата кредита с постоянным платежом, описанная в задаче, является одной из самых распространенных на практике. Такая схема называется аннуитетной*.*