Жока и Бока.
Потомственный шоумен Жока и его внук Бока готовят развлекательную программу свадьбы, а точнее песни (y) и конкурсы (x). Только вот студия у них единственная, а оба профессионалы, которым необходимо личное пространство, поэтому если один работает в студии долю a от максимально возможного времени, то второй (1-a), тогда исходные комбинации \{x;y\} изменяются в a и (1-a) раз соответственно.
Постройте их максимальные производственные возможности, если их производственные возможности при полном использовании студии каждым заданы как:
А) Y_1=25-X_1 Y_2 = \begin{cases} 20 - \frac{x_2}{3}, & x_2 \in [0; 15) \\ 60 - 3x_2, & x_2 \in [15; 20] \end{cases}
Б) Y_2 остаётся таким же, как в прошлом пункте, Y_1 = \begin{cases} 30 - \frac{4}{3}x_1, & x_1 \in [0; 12) \\ 26 - x_1, & x_1 \in [12; 26] \end{cases}
Пользуясь векторным методом для сложения линейных КПВ, доказанным ниже, получаем ответ:
А) Y = \begin{cases} 25 - \frac{2}{3}X, & 0 \leq X \leq 15 \\ 60 - 3X, & 15 < X \leq 20 \end{cases}
Б) Y = \begin{cases} 30 - X, & 0 \leq X \leq 15 \\ \frac{390}{11} - \frac{15}{11}X, & 15 < X \leq 26 \end{cases}
P.S. Векторный метод гласит, что если имеются две линейных КПВ с общим ресурсом, то мы можем соединить каждую точку первой КПВ с каждой точкой второй, а верхняя огибающая и есть итоговая КПВ.
Представим любую точку КПВ как вектор из начала координат. Если мы используем долю a общего ресурса на первую КПВ и соответственно (1-a) на вторую, то каждая КПВ, то есть совокупность таких векторов, домножается на долю ресурса. Например, если при полном использовании ресурса на первой КПВ доступна точка \{x;y\}, то используя только долю a мы сможем произвести соответственно в a раз меньше икса и игрека, то есть координата новой точки будет \{ax;ay\}. Сложим одну из точек первого КПВ с точкой второго, представив их как векторы. Пусть a\overrightarrow{b} – вектор производственных возможностей на первом КПВ, а (1-a)\overrightarrow{c} – на втором, тогда их сумма – это
a\overrightarrow{b}+(1-a)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}+a(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}).
По правилу треугольника получаем, что это вектор, который в зависимости от a описывает какую-то точку на прямой, соединяющей два КПВ. А парето-оптимальным множеством будет прямая, соединяющая две точки полной специализации (крайние).
