Задача 1.2.2. C утра ты орел, а под ночь калаш без венков
У Вовы есть два завода с издержками соответственно TC_1=q_1^2, \ TC_2=2q_2^2. Время на производство ограничено t часами. Альтернативная стоимость времени равна нулю. Производство одной единицы на первом заводе занимает час, а на втором заводе — полчаса. Временное бюро предлагает Вове увеличить разрешённое время производства на A часов. Сколько Вова готов заплатить за данное предложение, если он хочет произвести ровно Q единиц товара при заданных t и A ? В силу определённых ограничений Q\leq 2t.
\\ \\
Экономический бой, Летний ЛОС(ь) 2024
Задача Вовы без выбора о принятии сделки формулируется как
\begin{cases} q_1^2 + 2q_2^2 \to \min_{q_1 + q_2 = Q} \\ q_1 + 0.5q_2 \leq t \end{cases}
При минимизации издержек без ограничения на время получаем TC=\frac{2}{3}Q^2, при этом q_1=2Q/3, \ q_2=Q/3. Проверим, при каком ограничении на Q выполняется ограничение по времени: \frac{Q}{3} + \frac{Q}{3} \leq t \Rightarrow Q \leq 1.2t. При Q>1,2t решаем систему
\begin{cases} q_1 + q_2 = Q \\ q_1 + 0.5q_2 = t \end{cases}
Получаем q_1=2t-Q, \ q_2=2Q-2t. Тогда TC=9Q^2-12Q+6t^2. Выходит:
TC = \begin{cases} \frac{2Q^2}{3}, & Q < 1.2t \\ 9Q^2 - 12Qt + 6t^2, & 1.2t \leq Q \leq 2t \end{cases}
Последнее правое ограничение возникает из-за условия указанно в условии, а также больший объём невозможно произвести.
Теперь к, собственно, ответу на вопрос задачи. Назовём сумму, которую Вова готов заплатить за сделку F. Если Q\leq 1,2t, тогда Вова не готов ничего платить (F=0), поскольку он и так не использует всё время.
Далее если Q>1,2t, есть два случая:
1. Q<1,2(t+A). Тогда Вова готов заплатить \frac{25}{3}Q^2-12tQ+6t^2.
2. Q>1,2(t+A). В таком случае F=12QA-12At-6A^2.
Ответ:
F = \begin{cases} 0, & Q < 1.2t \\ \frac{25}{3}Q^2 - 12tQ + 6t^2, & 1.2t \leq Q < 1.2(t + A) \\ 12QA - 12At - 6A^2, & Q \geq 1.2(t + A) \end{cases}