Алгебра рентабельности
Известно, что рентабельность совершенно конкурентной фирмы «Эйлер, Бернулли и партнеры» при каждом объеме выпуска можно посчитать по формуле r(Q) = Q \cdot e^{2 - Q} - 1, где r – рентабельность (в долях), Q – выпуск (в тыс. шт.). Определите:
- Максимально возможную рентабельность фирмы;
- Рентабельность фирмы в точке оптимума.
1) r(Q) \rightarrow \text{max}
r'(Q) = e^{2-Q} - Q \cdot e^{2-Q} = 0 \Rightarrow Q = 1, r(1) = e - 1 \approx 171,8\%
2) Оптимальным является выпуск, при котором максимальна не рентабельность, а прибыль. Попытаемся восстановить функцию прибыли фирмы.
r(Q) = \frac{\pi(Q)}{TC(Q)} \Rightarrow r(Q) + 1 = \frac{TR(Q)}{TC(Q)} = \frac{PQ}{TC(Q)} \cdot
TC(Q) = \frac{PQ}{r(Q)+1} \Rightarrow \pi(Q) = PQ - \frac{PQ}{r(Q)+1} = P \left( Q - \frac{Q}{Q \cdot e^{2-Q}} \right) = P \left( Q - e^{Q-2} \right)
Как видим, функцию прибыли нам удалось восстановить лишь с точностью до константы P (цена является для фирмы константой в силу того, что наша фирма совершенно конкурентная). Однако этого достаточно, для того чтобы найти оптимальный выпуск фирмы:
\pi(Q) = P \left( Q - e^{Q-2} \right) \rightarrow \text{max}
\pi'(Q) = P \left( 1 - e^{Q-2} \right) = 0 \Rightarrow Q^* = 2, r(Q^*) = 2 \cdot e^{2-2} - 1 = 2 - 1 = 100\%
Ответ:
- 171,8%;
- 100%.