Рынок дроидов на планете Татуин
Студент Скайуокер, обучающийся в академии джедаев, выяснил, что на планете Татуин в отрасли, торгующей дроидами на совершенно конкурентном рынке, рыночный спрос и рыночное предложение представлены линейными функциями, причем пересекаются они в одной единственной точке, в которой Q=300 дроидов. Также от Оби-Вана Кеноби он узнал, что в точке рыночного равновесия |E_d^p|=2 и |E_s^p|=3, а sin\alpha =0,6.
На графике ниже представлена кривая рыночного спроса.
1. Восстановите функции рыночного спроса и рыночного предложения дроидов на планете Татуин.
2. Правительство планеты Татуин должно выплатить Империи 7000 у.е. на строительство звезды смерти (избежать этого никак не получится!). Для сбора данной суммы правительство вводит потоварный налог на производителей дроидов в размере t у.е. с одного дроида. Какую максимальную ставку потоварного налога t может установить правительство, чтобы собрать нужную сумму? Как и на сколько изменится равновесная цена для потребителя?
3. После того, как звезда смерти была достроена, Дарт Вейдер решил использовать ее мощь в своих корыстных целях и стать единственным производителем дроидов на планете Татуин, используя абсолютно новую имперскую технологию. Проведя необходимые расчеты вместе с Императором, они выяснили, что кривая MC представляется линейной функцией. Также было выявлено, что при производстве 100 дроидов предельные издержки равны 300 у.е., а при производстве, максимизирующем прибыль (максимум прибыли достигается только в одной точке), MC=450 у.е. Постоянных издержек производства нет. Какую прибыль получит Дарт Вейдер, монополизируя рынок дроидов на планете Татуин? Покажите решение данного пункта задачи на графике.
1) По формуле приведения \sin(180 - \alpha) = \sin \alpha \quad \Rightarrow \quad \sin(180 - \alpha) = 0{,}6
По основному тригонометрическому тождеству \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 \alpha = \pm 0{,}8, но так как угол \alpha больше 90 градусов, что соответствует 2 четверти тригонометрического круга, \cos \alpha=-0,8.
По формуле приведения \cos(180 - \alpha) = - \cos \alpha \quad \Rightarrow \quad \cos(180 - \alpha) = 0{,}8
Следовательно, tg(180 - \alpha) = \frac{\sin(180 - \alpha)}{\cos(180 - \alpha)} = \frac{0{,}6}{0{,}8} = \frac{3}{4} = 0{,}75.
Отсюда tg\beta=\frac{4}{3}, следовательно,Q_d=a-bp=a-\frac{4}{3}p ( \beta - угол между кривой спроса и осью P ).
Эластичность спроса по цене в точке равновесия:
E_d^p = \frac{dQ}{dP} \times \frac{P_e}{Q_e} = -\frac{4}{3} \times \frac{P_e}{300} = -2 \quad \Rightarrow \quad P_e = 450
Отсюда Q_d = a - \frac{4}{3}p = a - \frac{4}{3} \times 450 = 300 \quad \Rightarrow \quad a = 900 \quad \Rightarrow \quad Q_d = 900 - \frac{4}{3}p
Координаты точки рыночного равновесия (Q_e;P_e)=(300;450)
E_s^p = \frac{dQ_s}{dp} \times \frac{P_e}{Q_e} \quad \Rightarrow \quad 3 = \frac{dQ_s}{dp} \times \frac{450}{300} \quad \Rightarrow \quad \frac{dQ_s}{dp} = 2 \quad \Rightarrow \quad Q_s = c + dp = c + 2p
Отсюда: 300 = c + 2 * 450 = c + 900 \quad \Rightarrow \quad c = -600 \quad \Rightarrow \quad Q_s = 2p - 600
2) Нам известно, что Q_s=2p-60, следовательно, после введения потоварного налога Q_s^1=2(p-t)-600
T = 7000 \quad \Rightarrow \quad t * Q_e^1 = 7000 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{7000}{Q_e^1}
Отсюда Q_s^1 = 2(p - \frac{7000}{Q_e^1} - 600) = 2p - \frac{14000}{Q_e^1} - 600
Так как tg\beta = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{Q_e^1}{675 - P_e^1} \quad \Rightarrow \quad 3Q_e^1 = 2700 - 4P_e^1 \quad \Rightarrow \quad P_e^1 = \frac{2700 - 3Q_e^1}{4}
Отсюда: Q = 2 \times \left(\frac{2700 - 3Q}{4}\right) - \frac{14000}{Q} - 600 = \frac{2700Q - 3Q^2 - 28000 - 1200Q}{2Q}
Получается 5Q^2-1500Q+28000=0
D = 1690000 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{D} = 1300
Отсюда Q_1=20, Q_2=280
Отсюда получаем t_1=350, t_2=25
Следовательно t_{max}=350
Отсюда p_1=660, следовательно \Delta p=210.
3) Q_d = 900 - \frac{4}{3}p \quad \Rightarrow \quad p = 675 - 0{,}75Q \quad \Rightarrow \quad TR = 675Q - 0{,}75Q^2 \quad \Rightarrow \quad MR = 675 - 1{,}5Q
Условие максимизации прибыли на рынке монополии MC=MR, и если в точке оптимума MC=450, то в этой же точке MR = 450 \quad \Rightarrow \quad 450 = 675 - 1{,}5Q \quad \Rightarrow \quad Q_e = 150 \quad \Rightarrow \quad P_e = 562{,}5
Восстановим вид кривой MC по двум точкам:
300=b+100k и 450=b+150k, отсюда MC=3Q.
Восстановим уравнение TC :
TC = \int MC \, dQ = \frac{3}{2}Q^2 + C, \, C = 0, так как нет постоянных издержек.
Подсчитаем прибыль Дарта Вейдера:
\pi = TR - TC = 150 * 562{,}5 - \frac{3}{2}150^2 = 84375 - 33750 = 50625
Изобразим на графике:
Известно, что \pi = TR - TC = p * Q - ATC * Q = (p - ATC) * Q
ATC = \frac{TC}{Q} = \frac{\frac{3}{2}Q^2}{Q} = \frac{3}{2}Q
Прибыль – это прямоугольник с вершинами в следующих координатах: (P; Q): (225; 0), (562.5; 0), (562.5; 150), (225; 150) ; или фигура, выделенная желтым цветом.