1) По формуле приведения \sin(180 - \alpha) = \sin \alpha \quad \Rightarrow \quad \sin(180 - \alpha) = 0{,}6

По основному тригонометрическому тождеству \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 \alpha = \pm 0{,}8, но так как угол \alpha больше 90 градусов, что соответствует 2 четверти тригонометрического круга, \cos \alpha=-0,8.

По формуле приведения \cos(180 - \alpha) = - \cos \alpha \quad \Rightarrow \quad \cos(180 - \alpha) = 0{,}8

Следовательно, tg(180 - \alpha) = \frac{\sin(180 - \alpha)}{\cos(180 - \alpha)} = \frac{0{,}6}{0{,}8} = \frac{3}{4} = 0{,}75.

Отсюда tg\beta=\frac{4}{3}, следовательно,Q_d=a-bp=a-\frac{4}{3}p ( \beta - угол между кривой спроса и осью P ).

Эластичность спроса по цене в точке равновесия:

E_d^p = \frac{dQ}{dP} \times \frac{P_e}{Q_e} = -\frac{4}{3} \times \frac{P_e}{300} = -2 \quad \Rightarrow \quad P_e = 450

Отсюда Q_d = a - \frac{4}{3}p = a - \frac{4}{3} \times 450 = 300 \quad \Rightarrow \quad a = 900 \quad \Rightarrow \quad Q_d = 900 - \frac{4}{3}p

Координаты точки рыночного равновесия (Q_e;P_e)=(300;450)

E_s^p = \frac{dQ_s}{dp} \times \frac{P_e}{Q_e} \quad \Rightarrow \quad 3 = \frac{dQ_s}{dp} \times \frac{450}{300} \quad \Rightarrow \quad \frac{dQ_s}{dp} = 2 \quad \Rightarrow \quad Q_s = c + dp = c + 2p

Отсюда: 300 = c + 2 * 450 = c + 900 \quad \Rightarrow \quad c = -600 \quad \Rightarrow \quad Q_s = 2p - 600

2) Нам известно, что Q_s=2p-60, следовательно, после введения потоварного налога Q_s^1=2(p-t)-600

T = 7000 \quad \Rightarrow \quad t * Q_e^1 = 7000 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{7000}{Q_e^1}

Отсюда Q_s^1 = 2(p - \frac{7000}{Q_e^1} - 600) = 2p - \frac{14000}{Q_e^1} - 600

Так как tg\beta = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{Q_e^1}{675 - P_e^1} \quad \Rightarrow \quad 3Q_e^1 = 2700 - 4P_e^1 \quad \Rightarrow \quad P_e^1 = \frac{2700 - 3Q_e^1}{4}

Отсюда: Q = 2 \times \left(\frac{2700 - 3Q}{4}\right) - \frac{14000}{Q} - 600 = \frac{2700Q - 3Q^2 - 28000 - 1200Q}{2Q}

Получается 5Q^2-1500Q+28000=0

D = 1690000 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{D} = 1300

Отсюда Q_1=20, Q_2=280

Отсюда получаем t_1=350, t_2=25

Следовательно t_{max}=350

Отсюда p_1=660, следовательно \Delta p=210.

3) Q_d = 900 - \frac{4}{3}p \quad \Rightarrow \quad p = 675 - 0{,}75Q \quad \Rightarrow \quad TR = 675Q - 0{,}75Q^2 \quad \Rightarrow \quad MR = 675 - 1{,}5Q

Условие максимизации прибыли на рынке монополии MC=MR, и если в точке оптимума MC=450, то в этой же точке MR = 450 \quad \Rightarrow \quad 450 = 675 - 1{,}5Q \quad \Rightarrow \quad Q_e = 150 \quad \Rightarrow \quad P_e = 562{,}5

Восстановим вид кривой MC по двум точкам:

300=b+100k и 450=b+150k, отсюда MC=3Q.

Восстановим уравнение TC :

TC = \int MC \, dQ = \frac{3}{2}Q^2 + C, \, C = 0, так как нет постоянных издержек.

Подсчитаем прибыль Дарта Вейдера:

\pi = TR - TC = 150 * 562{,}5 - \frac{3}{2}150^2 = 84375 - 33750 = 50625

Изобразим на графике:

Известно, что \pi = TR - TC = p * Q - ATC * Q = (p - ATC) * Q

ATC = \frac{TC}{Q} = \frac{\frac{3}{2}Q^2}{Q} = \frac{3}{2}Q

Прибыль – это прямоугольник с вершинами в следующих координатах: (P; Q): (225; 0), (562.5; 0), (562.5; 150), (225; 150) ; или фигура, выделенная желтым цветом.