Многогранная личность
Вася хочет изготовить правильный многогранник из стали и покрыть его сплавом драгоценных металлов. Один кубический сантиметр стали стоит 1 рубль. Покрытие одним квадратным сантиметром сплава также обойдётся в 1 рубль. Технология производства следующая: отливается шар из стали, срезается лишний металл, на заготовку наносится тончайший слой сплава драгоценных металлов. Остатки стали, которые срезали с многогранника, приходится выбрасывать.
Удовлетворённость Васи многогранником зависит от того, насколько он сложный (сколько у него граней N ) и насколько блестящий, что описывается следующей функцией:
U = \sqrt{N} \times S - M
где M – затраты Васи на производство, а S – площадь поверхности.
Справка: правильный многогранник – это такой выпуклый многогранник, у которого все грани равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое количество рёбер.
- ( 15 баллов) Если правильные многогранники, из которых может выбирать Вася, – это куб, тетраэдр (пирамида с треугольником в основании) и октаэдр (многогранник, гранями которого являются 8 равносторонних треугольников), какой многогранник выберет Вася?
- ( 10 баллов) Какой многогранник выберет Вася, если он умеет делать все возможные правильные многогранники?
Справка:
Правильный многогранник – это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.
Формулы радиуса сферы, вписанной в:
Додекаэдр – r = \frac{a}{4} \sqrt{10 + \frac{22}{\sqrt{5}}}
Икосаэдр − r = \frac{a \sqrt{3}}{12} \left(3 + \sqrt{5} \right)
Формулы радиуса сферы, описанной около:
Додекаэдра −R = \frac{a \sqrt{3}}{4} \left(1 + \sqrt{5} \right)
Икосаэдра −R = \frac{a}{4} \sqrt{(10 + 2 \sqrt{5})}
а)
Куб:
\left\{ \begin{aligned} N &= 6 \\ S &= 6a^2\sqrt{3} \\ R &= \frac{a\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} N &= 6 \\ S &= 8R^2 \\ a &= R\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\ U_6 &= \left( \sqrt{6} - 1 \right) 8R^2 - V(R) \end{aligned} \right.
Октаэдр:
\left\{ \begin{aligned} N &= 8 \\ S &= 8a^2\frac{\sqrt{3}}{4} \\ R &= a\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} N &= 8 \\ S &= 4\sqrt{3}R^2 \\ a &= R\sqrt{2} \\ U_8 &= \left( \sqrt{8} - 1 \right) 4\sqrt{3}R^2 - V(R) \end{aligned} \right.
Заметим, что полезность от куба больше полезности от октаэдра при любом радиусе начального шара. Это значит, что куб точно лучше октаэдра.
Тетраэдр:
Заметим, что тетраэдр можно вписать в сферу, описанную вокруг куба так, что каждая вершина тетраэдра будет совпадать с одной из вершин куба (Это значит, что у них одна описанная сфера), а ребра тетраэдра будут диагоналями граней куба (см. рис 1).
Тогда:
U_4 = \left( \sqrt{4} - 1 \right) S_4 - V(R)
Заметим, что в этом случае площадь поверхности тетраэдра меньше площади поверхности куба, так как сумма площадей боковых граней любой пирамиды меньше площади ее основания (подобно принципу неравенства треугольника, но только для объемной фигуры).
Так как \left( \sqrt{4} - 1 \right) < \left( \sqrt{6} - 1 \right) и S_{\gamma} < S_{\alpha}, то и полезность куба всегда будет больше полезности тетрадра.
Так как при любом радиусе начального шара он выбирает куб, то и в оптимуме он выберет куб.
Таким образом, мы показали, что он выбирает куб.
б)
Заметим, что отношение радиусов описанной и вписанной сфер вокруг додекаэдра равно:
\frac{R_{12}}{r_{12}} = \frac{(1 + \sqrt{5})\sqrt{3}}{10 + \frac{22}{\sqrt{5}}} = \sqrt{15 - 6\sqrt{5}}
Несложно проверить, что и у икосаэдра это отношение равно той же величине.
Это значит, что если эти две фигуры вписать в одну сферу, то и вписанные сферы у них будут совпадать.
Это значит, что отношение площадей поверхностей икосаэдра и додекаэдра (если они вписаны в одну сферу) не может превышать отношения радиусов вписанной и описанной сфер, так как площадь поверхности каждого больше площади поверхности вписанной сферы и меньше площади поверхности описанной сферы.
Докажем, что U_{20}>U_{12} для любого радиуса начального шара.
Заметим, что
\frac{\sqrt{20} - 1}{\sqrt{12} - 1} > \frac{R_{12}}{r_{12}} = \frac{R_{20}}{r_{20}} > \frac{S_{12}}{S_{20}} \Rightarrow
(\sqrt{20} - 1)S_{20} + V(R) > (\sqrt{12} - 1)S_{12} + V(R) \Rightarrow U_{20} > U_{12}
Значит, из этих двух фигур он выберет икосаэдр.
Заметим, что как ив случае с тетраэдром, можно вписать одну из фигур в додекаэдр.
А именно, куб можно вписать в додекаэдр так, что каждая вершина куба будет совпадать с одной из вершин додекаэдра, а его ребра будут лежать на ребрах додекаэдра (см. рис 1).
Далее аналогично рассуждениям в пункте а) можно показать, что куб хуже додекаэдра.
Это значит, что он выберет додекаэдр.
При правильном решении пункта любым способом ставился полный балл.
Критерии оценивания при наличии ошибок в решении:
За найденный радиус описанной сферы куба или октаэдра - 1 балл
За найденный радиус описанной сферы тетраэдра - 2 балла
За найденную площадь поверхности одной фигуры - 1 балл
За формулу объема шара - 1 балл
За идею того, что необходимо максимизировать полезность от каждой фигуры - 1 балл
За идею того, что максимумы нужно сравнить - 1 балл
Идея того, что тетраэдр можно вписать в куб так, что радиус описанной окружности
будет одинаков -2 балла
За выписанное число граней икосаэдра и додекаэдра - 1 балл
Описана логика решения второго пункта - 2 балла