(a) Обозначим долю успешных рейсов торговых судов за x, тогда доля рейсов, загубленных пиратами, равна (1-x). Согласно статистике, верна пропорция \frac{x}{1-x}=\frac{w_B}{p}

Следовательно, x = \frac{w_B}{w_B + p} \quad \text{и} \quad (1 - x) = \frac{p}{w_B + p}. Себестоимость груза одного торгового судна равна с=500 фунтов стерлингов, при продаже наценка на него составляет m=2400\%=24, поэтому рыночная стоимость пряностей на одном судне равна v=(1+m)c=25*500=12500 фунтов стерлингов. Ожидаемая за двухлетний срок прибыль Британской Ост-Индской торговой компании есть ожидаемая выручка от продажи пряностей за вычетом их себестоимости:

\mathbb{E}(\pi_B) = \frac{w_B}{w_B + p} \cdot vt_B - ct_B

Лорд Беккет решает следующую оптимизационную задачу:

\left\{ \begin{aligned} &\mathbb{E}(\pi_B) \rightarrow \max \limits_{0 \leq t_B, w_B \leq B} \\ &\text{s.t. } t_B + w_B = B \\ &p = t_B \end{aligned} \right.

Преобразуем данную задачу, подставив t_B=B-w_B и p=t_B в формулу ожидаемой прибыли:

\mathbb{E}(\pi_B) = \left( \frac{w_B}{w_B + t_B} \cdot (v - c) \right) (B - w_B) = \left( \frac{w_B}{B} \cdot (v - c) \right) (B - w_B) = (v + c)w_B - cB - \frac{v}{B} \cdot w_B^2 \rightarrow \max \limits_{0 \leq w_B \leq B}

Максимизируем ожидаемую прибыль компании по количеству военных кораблей:

\mathbb{E}(\pi_B)' = (v + c) - 2\frac{v}{B} \cdot w_B \implies (v + c) - 2\frac{v}{B} \cdot w_B^* = 0 \implies w_B^* = \frac{v + c}{2v} \cdot B = \frac{12500 + 500}{2 \cdot 12500} \cdot 100 =52

Ответ. Будет вооружено 52 корабля.

(b) Имеем w_B^*=52, значит t_B^*=B-w_B^*=100-52=48 и p^*=t_B=48. Матожидание числа утраченных кораблей равно

\frac{p^*}{w_B^* + p^*} \cdot t_B^* = \frac{48}{52 + 48} \cdot 48 = 23{,}04 \approx23

Ответ. Следует ожидать, что будет потеряно 23 торговых судна компании.

(c) Ожидаемая за двухлетний срок прибыль Британской Ост-Индской компании составляет

\mathbb{E}(\pi_B) = \frac{w_B^*}{w_B^* + p^*} \cdot v t_B^* - c t_B^* = \frac{52}{52 + 48} \cdot 12500 \cdot 48 - 500 \cdot 48 =336000

Ответ. Ожидаемая прибыль равна 336000 фунтов стерлингов.

(d) Если бы компания не была вынуждена бороться с пиратством, то все B=100 кораблей перевозили бы пряности. В таком случае прибыль была бы равна

\pi_B = vB - cB = (v - c)B = (12500 - 500) \cdot 100 = 1\,200\,000

Реальная прибыль (336000 фунтов стерлингов) составляет от этой потенциальной прибыли долю 336000/1200000=28\%

Ответ. Компания реально получает 28\% от потенциальной прибыли.

(e) Новая функция прибыли выглядит так:

\mathbb{E}(\pi_B) = \left( 2 \cdot \frac{w_B}{w_B + p} \right) v t_B - c t_B = \frac{w_B}{w_B + p} (2v) t_B - c t_B

С алгебраической точки зрения, удвоение вероятности \frac{w_B}{w_B+p} успеха рейса эквивалентно удвоению рыночной стоимости v перевозимых им грузов. Следовательно, новое оптимальное число военных кораблей будет равно

w_B^* = \frac{(2v) + c}{2(2v)} \cdot B = \frac{(2 \cdot 12500) + 500}{2 \cdot (2 \cdot 12500)} \cdot 100 = 51

Число торговых (и пиратских) судов есть t_B^*=p^*=B-w_B=100-51=49. Новая ожидаемая прибыль равна

\mathbb{E}(\pi_B) = \frac{w_B^*}{w_B^* + p^*} \cdot (2v) t_B^* - c t_B^* = \frac{51}{51 + 49} \cdot (2 \cdot 12500) \cdot 49 - 500 \cdot 49 = 600250

Эта новая прибыль составляет от потенциальной прибыли компании (1200000 фунтов стерлингов) долю 600250/1200000=50,00\approx 50\%2

Ответ. Компания станет получать примерно 50\% от своей потенциальной прибыли.

(f) В новых условиях доля y успешных рейсов торговых судов обеих компаний определяется из условия

\frac{y}{1 - y} = \frac{w_B + w_H}{p}

Решаем пропорцию и получаем y = \frac{w_B + w_H}{w_B + w_H + p}

Теперь ожидаемая за двухлетний срок прибыль Британской и Голландской компаний соответственно есть

\mathbb{E}(\pi_B) = \frac{w_B + w_H}{w_B + w_H + p} \cdot v t_B - c t_B и \mathbb{E}(\pi_H) = \frac{w_B + w_H}{w_B + w_H + p} \cdot v t_H - c t_H

Лорд Беккет и Совет из семнадцати голландских купцов одновременно решают такие оптимизационные задачи:

\left\{ \begin{aligned} &\mathbb{E}(\pi_B) \rightarrow \max \limits_{0 \leq t_B, w_B \leq B} \\ &\text{s.t. } t_B + w_B = B \\ &p = t_B + t_H \end{aligned} \right. и \left\{ \begin{aligned} &\mathbb{E}(\pi_H) \rightarrow \max \limits_{0 \leq t_H, w_H \leq H} \\ &\text{s.t. } t_H + w_H = H \\ &p = t_B + t_H \end{aligned} \right.

Преобразуем задачу лорда Беккета, подставив t_B=B-w_B, t_H+w_H=H, p=t_B+t_H в формулу ожидаемой прибыли Британской Ост-Индской компании:

\mathbb{E}(\pi_B) = \left( \frac{w_B + w_H}{w_B + w_H + t_B + t_H} \cdot (v - c) \right) (B - w_B) = \left( \frac{w_B + w_H}{B + H} \cdot (v - c) \right) (B - w_B) =

= \left( \frac{B}{B + H} \cdot v - \frac{v}{B + H} \cdot w_H + c \right) w_B + \left( \frac{B}{B + H} \cdot v w_H - cB \right) - \frac{v}{B + H} \cdot w_B^2 \rightarrow \max \limits_{0 \leq w_B \leq B}

Максимизируем ожидаемую прибыль компании по количеству военных кораблей:

\mathbb{E}(\pi_B)' = \left( \frac{B}{B + H} \cdot v - \frac{v}{B + H} \cdot w_H + c \right) - 2 \cdot \frac{v}{B + H} \cdot w_B \implies \left( \frac{B}{B + H} \cdot v - \frac{v}{B + H} \cdot w_H + c \right) - 2 \cdot \frac{v}{B + H} \cdot w_B^* = 0 \implies w_B^* = \frac{1}{2} \left( B - w_H + \frac{c}{v} (B + H) \right)

Последнее уравнение есть функция реакции w_B^*(w_H) Британской компании, показывающая, сколько кораблей вооружит лорд Беккер при условии, что голландцы вооружат w_H своих кораблей. В силу симметрии получаем следующую функцию реакции w_H^*(w_B) Голландской компании:

w_H^* = \frac{1}{2} \left( H - w_B + \frac{c}{v} (B + H) \right)

В равновесии выбор компаний (значения w_B^*, w_H^* ) должен удовлетворять системе из двух функций реакции:

\left\{ \begin{aligned} w_B^* &= \frac{1}{2} \left( B - w_H^* + \frac{c}{v}(B + H) \right) \\ w_H^* &= \frac{1}{2} \left( H - w_B^* + \frac{c}{v}(B + H) \right) \end{aligned} \right. \implies \left\{ \begin{aligned} w_B^* &= \frac{1}{3} \left( (2B - H) + \frac{c}{v}(B + H) \right) \\ w_H^* &= \frac{1}{3} \left( (2H - B) + \frac{c}{v}(B + H) \right) \end{aligned} \right. \implies \left\{ \begin{aligned} w_B^* &= \frac{1}{3} \left( (2 \cdot 100 - 75) + \frac{500}{12500}(100 + 75) \right) = \boxed{44} \\ w_H^* &= \frac{1}{3} \left( (2 \cdot 75 - 100) + \frac{500}{12500}(100 + 75) \right) = 19 \end{aligned} \right.

Ответ. Лорд Беккет прикажет вооружить 44 корабля Британской компании.

(g) Поскольку w_B^*=44, то t_B^*=B-w_B^*=100-44=56. Аналогично, раз w_H^*=19, то t_H^*=H-w_H^*=75-19=56. Значит, p^*=t_B^*+t_H^*=56+56=112. Ожидаемая за двухлетний срок прибыль Британской Ост-Индской компании составляет

\mathbb{E}(\pi_B) = \frac{w_B^* + w_H^*}{w_B^* + w_H^* + p^*} \cdot v t_B^* - c t_B^* = \frac{44 + 19}{44 + 19 + 112} \cdot 12500 \cdot 56 - 500 \cdot 56 = 224\,000

Эта новая прибыль составляет от потенциальной прибыли компании ( 1200000 фунтов стерлингов) долю 224000/1200000=18,667\%\approx 19\%

Ответ. Британская компания станет получать примерно 19\% от своей потенциальной прибыли.