Пирамида потребностей
Из школьного курса обществознания вам может быть знакома теория потребностей человека, известная как пирамида Маслоу. Ее основополагающий принцип в том, что пока не удовлетворены потребности низкого уровня, индивид не стремится удовлетворять потребности более высокого уровня. В большинстве экономических моделей этот принцип игнорируется, но не в этой задаче.
Харитон потребляет два блага — Хлеб (X) и Зрелища (Y). Если он потребляет меньше 10 единиц какого-то из этих благ, то его потребность в этом благе считается неудовлетворенной. Пока потребление Хлеба меньше 10, каждая дополнительная единица Хлеба приносит Харитону 2 единицы полезности, а после достижения этого уровня, то есть после того, как потребность удовлетворена, — только 1 единицу полезности.
В пирамиде потребностей Харитона потребность в Хлебе занимает первую ступень, а в потребность в Зрелищах — вторую: если потребность в Хлебе не удовлетворена, полезность от потребления Зрелищ равна 0. Если же потребление Хлеба не меньше 10 единиц, полезность от потребления Зрелищ устроена так же, как и полезность Хлеба: до достижения количества 10 каждая единица Зрелищ приносит 2 единицы полезности, а после — только 1 единицу полезности.
Доход Харитона равен 300, он максимизирует суммарную полезность.
а) (2 балла) Допустим, цена единицы Хлеба (px) равна 10, а цена единицы Зрелищ (py) равна 15. Найдите оптимальные для Харитона объемы потребления Хлеба и Зрелищ, x* и y*.
б) (3 балла) При каких (неотрицательных) ценах px, py потребность Харитона в Зрелищах будет в оптимуме удовлетворяться, то есть y* \geq 10? Изобразите на плоскости множество таких пар цен.
в) (4 балла) Добавим на вершину пирамиды третье благо — Книги (Z). Полезность от чтения Книг равна нулю, если потребность в Хлебе или Зрелищах не удовлетворена. Если же обе эти потребности удовлетворены, каждая единица Книг приносит Харитону 2 единицы полезности независимо от количества Книг. Цена Книг pz равна 4. Ответьте на вопросы пункта б).
а) Индивиду хватит денег, чтобы удовлетворить потребность в Хлебе (10 \cdot 10 = 100 < 300), а значит, он ее удовлетворит. Оставшиеся 200 ден. ед. можно продолжать тратить на Хлеб, а можно начать покупать Зрелища. Если удовлетворить потребность в Зрелищах, то оставшиеся деньги (200 - 10 \cdot 15 = 50) нужно будет точно тратить на Хлеб, так как предельные полезности Хлеба и Зрелищ будут одинаковы (равны 1), а Хлеб дешевле. Эти 50 ден. ед. будут тратиться на Хлеб также и в случае, если индивид выберет вообще не покупать Зрелища. Таким образом, весь вопрос в том, куда потратить 300 - 100 - 50 = 150 ден. ед. — на Хлеб или на 10 единиц Зрелищ. Если потратить их на Хлеб, можно получить 150/10 \cdot 1 = 15 единиц полезности, а если на Зрелища, то (150/15 \cdot 2 = 20 единиц полезности (это то же самое, что и сравнить величины MU/P для Хлеба и Зрелищ). Таким образом, тратить нужно на Зрелища. Всего индивид купит x* = 10 + 50/10 = 15 единиц Хлеба и y* = 10 единиц Зрелищ. (x*, y*) = (15, 10).
б) Во-первых, для того чтобы чтобы купить хотя бы 10 единиц Зрелищ было оптимально, индивиду должно хватить денег как на удовлетворение потребности в Зрелищах, так и на удовлетворение потребности в Хлебе (ведь без того Зрелища не приносят полезности): 10px + 10py \leq 300.
Если это условие выполнено, то индивид будет тратить деньги на Зрелища тогда и только тогда, когда 10 \cdot2 \geq 1 \cdot 10px/px, иначе те же деньги лучше потратить на Хлеб. Таким образом, должно выполняться py \leq 2px. Получаем, что искомое множество задается системой условий:
\begin{cases} px + py \leq 30, \\ py \leq 2px. \end{cases}
(При этом, если py < px, индивид будет не только удовлетворять потребность в Зрелищах, но и тратить на них все деньги, оставшиеся после удовлетворения потребности в Хлебе; но вопрос данного пункта не об этом.) Множество изображено на рис.:
в) Как и в предыдущем пункте, должно выполняться условие 10px + 10py \leq 300, иначе у индивида не хватит денег на удовлетворение потребности в Y. Обозначим за l1 \geq 0 сумму денег, которая останется у индивида после удовлетворения потребности в Хлебе и Зрелищах.
Кроме того, если py < px, то потребность в Зрелищах, очевидно, будет удовлетворяться, так как в этом случае предельная полезность Зрелищ больше, чем у Хлеба, и они еще и дешевле. Поэтому ниже мы будем рассматривать только случай py > px.
Допустим, индивид удовлетворил потребность в Хлебе. Если он потратит все оставшиеся деньги на Хлеб, он получит дополнительную полезность в размере:
U0^{add} = (300 - 10px)/px - 10.
Если он решит удовлетворить потребность в Зрелищах, то его дополнительная полезность будет равна:
U1^{add} = 2 \cdot 10 + \max\left( 1 \cdot \frac{I1}{px}, 2 \cdot \frac{I1}{py} \right).
После удовлетворения потребности в Y индивиду нужно будет выбрать, потратить ли оставшиеся деньги на X или на Z — отсюда два аргумента у оператора "максимум". (На Y деньги после удовлетворения потребности в нем точно не тратим, так как он дорогой, py > px ).
Удовлетворять потребность в Y выгодно, когда:
U1^{add} \geq Uo^{add}.
Подставляя в это неравенство выражение для I1, значение p_z = 4, и раскрывая оператор "максимум", получаем, что покупка 10 единиц Зрелищ оптимальна, когда:
py \leq \begin{cases} 2px, & px < 2, \\ (36 - px - \frac{60}{px})/2, & px \geq 2. \end{cases}
Дополняя это условие условием, что 10p_x + 10p_y \leq 300, то есть p_y \leq 30 - p_x, окончательно получаем, что верхняя граница искомого множества описывается уравнением:
p_y = \begin{cases} 2p_x, & p_x < 2, \\ 36 - p_x - \frac{60}{p_x}, & 6 \leq p_x < 10, \\ 30 - p_x, & 10 \leq p_x \leq 30. \end{cases}
(Чтобы получить точку p_x = 10 , нужно решить уравнение 36 - p_x - \frac{60}{p_x} = 30 - p_x ).
Множество изображено на рис.:
Заметим, что множество расширилось по сравнению с пунктом б). Это произошло из-за того, что при наличии товара Z, стоящего выше в пирамиде потребностей, удовлетворение потребности в Y не только приносит полезность само по себе, но и по сути дела представляет собой «покупку опциона» на получение полезности от потребления Z. Удовлетворение потребности в Y стало выгоднее, и множество цен, при котором оно оптимально, расширилось.