а) Индивиду хватит денег, чтобы удовлетворить потребность в Хлебе (10 \cdot 10 = 100 < 300), а значит, он ее удовлетворит. Оставшиеся 200 ден. ед. можно продолжать тратить на Хлеб, а можно начать покупать Зрелища. Если удовлетворить потребность в Зрелищах, то оставшиеся деньги (200 - 10 \cdot 15 = 50) нужно будет точно тратить на Хлеб, так как предельные полезности Хлеба и Зрелищ будут одинаковы (равны 1), а Хлеб дешевле. Эти 50 ден. ед. будут тратиться на Хлеб также и в случае, если индивид выберет вообще не покупать Зрелища. Таким образом, весь вопрос в том, куда потратить 300 - 100 - 50 = 150 ден. ед. — на Хлеб или на 10 единиц Зрелищ. Если потратить их на Хлеб, можно получить 150/10 \cdot 1 = 15 единиц полезности, а если на Зрелища, то (150/15 \cdot 2 = 20 единиц полезности (это то же самое, что и сравнить величины MU/P для Хлеба и Зрелищ). Таким образом, тратить нужно на Зрелища. Всего индивид купит x* = 10 + 50/10 = 15 единиц Хлеба и y* = 10 единиц Зрелищ. (x*, y*) = (15, 10).

б) Во-первых, для того чтобы чтобы купить хотя бы 10 единиц Зрелищ было оптимально, индивиду должно хватить денег как на удовлетворение потребности в Зрелищах, так и на удовлетворение потребности в Хлебе (ведь без того Зрелища не приносят полезности): 10px + 10py \leq 300.

Если это условие выполнено, то индивид будет тратить деньги на Зрелища тогда и только тогда, когда 10 \cdot2 \geq 1 \cdot 10px/px, иначе те же деньги лучше потратить на Хлеб. Таким образом, должно выполняться py \leq 2px. Получаем, что искомое множество задается системой условий:

\begin{cases} px + py \leq 30, \\ py \leq 2px. \end{cases}

(При этом, если py < px, индивид будет не только удовлетворять потребность в Зрелищах, но и тратить на них все деньги, оставшиеся после удовлетворения потребности в Хлебе; но вопрос данного пункта не об этом.) Множество изображено на рис.:

в) Как и в предыдущем пункте, должно выполняться условие 10px + 10py \leq 300, иначе у индивида не хватит денег на удовлетворение потребности в Y. Обозначим за l1 \geq 0 сумму денег, которая останется у индивида после удовлетворения потребности в Хлебе и Зрелищах.

Кроме того, если py < px, то потребность в Зрелищах, очевидно, будет удовлетворяться, так как в этом случае предельная полезность Зрелищ больше, чем у Хлеба, и они еще и дешевле. Поэтому ниже мы будем рассматривать только случай py > px.

Допустим, индивид удовлетворил потребность в Хлебе. Если он потратит все оставшиеся деньги на Хлеб, он получит дополнительную полезность в размере:

U0^{add} = (300 - 10px)/px - 10.

Если он решит удовлетворить потребность в Зрелищах, то его дополнительная полезность будет равна:

U1^{add} = 2 \cdot 10 + \max\left( 1 \cdot \frac{I1}{px}, 2 \cdot \frac{I1}{py} \right).

После удовлетворения потребности в Y индивиду нужно будет выбрать, потратить ли оставшиеся деньги на X или на Z — отсюда два аргумента у оператора "максимум". (На Y деньги после удовлетворения потребности в нем точно не тратим, так как он дорогой, py > px ).

Удовлетворять потребность в Y выгодно, когда:

U1^{add} \geq Uo^{add}.

Подставляя в это неравенство выражение для I1, значение p_z = 4, и раскрывая оператор "максимум", получаем, что покупка 10 единиц Зрелищ оптимальна, когда:

py \leq \begin{cases} 2px, & px < 2, \\ (36 - px - \frac{60}{px})/2, & px \geq 2. \end{cases}

Дополняя это условие условием, что 10p_x + 10p_y \leq 300, то есть p_y \leq 30 - p_x, окончательно получаем, что верхняя граница искомого множества описывается уравнением:

p_y = \begin{cases} 2p_x, & p_x < 2, \\ 36 - p_x - \frac{60}{p_x}, & 6 \leq p_x < 10, \\ 30 - p_x, & 10 \leq p_x \leq 30. \end{cases}

(Чтобы получить точку p_x = 10 , нужно решить уравнение 36 - p_x - \frac{60}{p_x} = 30 - p_x ).

Множество изображено на рис.:

Заметим, что множество расширилось по сравнению с пунктом б). Это произошло из-за того, что при наличии товара Z, стоящего выше в пирамиде потребностей, удовлетворение потребности в Y не только приносит полезность само по себе, но и по сути дела представляет собой «покупку опциона» на получение полезности от потребления Z. Удовлетворение потребности в Y стало выгоднее, и множество цен, при котором оно оптимально, расширилось.