Задача 2 ОЧ-2016 (11 класс)
В стране есть налоговая инспекция, а есть предприниматель, который получил прибыль в размере тугриков. Согласно законодательству, он должен уплатить налог в размере процентов от прибыли.
Предприниматель хочет достичь как можно большего уровня счастья. Его функция счастья зависит от того, сколько денег он получил, и выражается следующей функцией:
,
Где – размер счастья, а – его доход в тугриках после уплаты налогов и штрафов.
Предприниматель не хочет платить столь большой налог. Это несправедливо, считает он. Он хочет поступить «умнее»: скрыть от налоговых органов часть своей прибыли. Т.е. задекларировать меньший доход и с него заплатить положенные процентов налога.
Налоговая инспекция может проверить его деятельность, и тогда точно будет выявлен обман. Согласно законодательству, предприниматель будет должен не только полностью уплатить налог, но и за каждый неуплаченный тугрик налога выплатить штраф тугрика.
- Налоговая инспекция может проверить предпринимателя с вероятностью , . Предприниматель максимизирует математическое ожидание своего счастья. Помогите предпринимателю выбрать оптимальное значение декларируемой прибыли.
Примечание: математическим ожиданием случайной величины мы называем сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: , где - значения счастья, а – вероятность получения данного значения счастья.
Так получилось, что налоговая инспекция провела проверку нескольких предпринимателей, и в СМИ попали цифры неуплаченных налогов. «Гнать их в шею – этих предпринимателей надо. Отобрать надо у них все предприятия, фирмы и заводы и сделать общими. Надо, чтобы прибыль доставалась народу, а не буржуям. Если все фирмы будут государственными, всем станет лучше», - рассуждает дворник Василий.
- Как называется передача из частной собственности в собственность государства крупных предприятий? Согласны ли вы с позицией Василия, что всем действительно будет лучше от таких мероприятий?
Ответ
- Пусть – доход, а – величина, которую предприниматель скрыл. Тогда если налоговая его не проверит, то его счастье будет равно:
Если же он будет проверен, то его счастье будет таким:
Предприниматель максимизирует ожидаемое счастье.
Тогда:
Возьмем производную по :
Обоснование максимума:
Если мы возьмем функцию , то функция будет парабола с ветвями вниз и максимумом в вершине. А максимуму функции соответствует максимум функции
Подставляем сюда значение дохода:
Таким образом, оптимально скрыть единиц; значит, задекларирует он .
- Национализация.
Не следует с ним соглашаться.
Предприниматели создают новые фирмы, организуют рабочие места. Когда компания находится в частном ведении, то она эффективно использует ресурсы. Если произвести национализацию, то компании теряют стимулы эффективно использовать свои ресурсы, могут стать убыточными и закрыться. Поэтому могут возникнуть проблемы – увеличение безработицы, уменьшение зарплат.