Задача 2 ОЧ-2016 (11 класс)
В стране R есть налоговая инспекция, а есть предприниматель, который получил прибыль в размере 25 тугриков. Согласно законодательству, он должен уплатить налог в размере 20 процентов от прибыли.
Предприниматель хочет достичь как можно большего уровня счастья. Его функция счастья зависит от того, сколько денег он получил, и выражается следующей функцией:
H=ln(1+Y_D),
Где H – размер счастья, а Y_D – его доход в тугриках после уплаты налогов и штрафов.
Предприниматель не хочет платить столь большой налог. Это несправедливо, считает он. Он хочет поступить «умнее»: скрыть от налоговых органов часть своей прибыли. Т.е. задекларировать меньший доход и с него заплатить положенные 20 процентов налога.
Налоговая инспекция может проверить его деятельность, и тогда точно будет выявлен обман. Согласно законодательству, предприниматель будет должен не только полностью уплатить налог, но и за каждый неуплаченный тугрик налога выплатить штраф 3 тугрика.
1. Налоговая инспекция может проверить предпринимателя с вероятностью p=0,2, p\in[0;1]. Предприниматель максимизирует математическое ожидание своего счастья. Помогите предпринимателю выбрать оптимальное значение декларируемой прибыли.
Примечание: математическим ожиданием случайной величины мы называем сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: M(H) = \sum p_i H_i, где H_i - значения счастья, а p_i – вероятность получения данного значения счастья.
Так получилось, что налоговая инспекция провела проверку нескольких предпринимателей, и в СМИ попали цифры неуплаченных налогов. «Гнать их в шею – этих предпринимателей надо. Отобрать надо у них все предприятия, фирмы и заводы и сделать общими. Надо, чтобы прибыль доставалась народу, а не буржуям. Если все фирмы будут государственными, всем станет лучше», - рассуждает дворник Василий.
2. Как называется передача из частной собственности в собственность государства крупных предприятий? Согласны ли вы с позицией Василия, что всем действительно будет лучше от таких мероприятий?
1. Пусть Y – доход, а S – величина, которую предприниматель скрыл. Тогда если налоговая его не проверит, то его счастье будет равно:
H_1 = \ln(1 + 0,8(Y - S) + S) = \ln(1 + 0,8Y + 0,2S)
Если же он будет проверен, то его счастье будет таким:
H_2 = \ln(1 + 0,8(Y - S) + S - 0,2S - 0,2 \cdot 3S) = \ln(1 + 0,8Y - 0,6S)
Предприниматель максимизирует ожидаемое счастье.
Тогда:
M(H) = 0,8 \cdot H_1 + 0,2 \cdot H_2 = 0,8 \cdot \ln(1 + 0,8Y + 0,2S) + 0,2 \cdot \ln(1 + 0,8Y - 0,6S)
Возьмем производную по S :
M'(H) = \frac{0,8 \cdot 0,2}{1 + 0,8Y + 0,2S} + \frac{0,2 \cdot (-0,6)}{1 + 0,8Y - 0,6S} = 0
\frac{4}{1 + 0,8Y + 0,2S} = \frac{3}{1 + 0,8Y - 0,6S}
4 + 3,2Y - 2,4S = 3 + 2,4Y - 0,6S
3S = 1 + 0,8Y
S = \frac{1 + 0,8Y}{3}
Обоснование максимума:
Если мы возьмем функцию Z=e^{M(H)}, то функция Z будет парабола с ветвями вниз и максимумом в вершине. А максимуму функции M(H) соответствует максимум функции e^{M(H)}
Подставляем сюда значение дохода:
S^*=7
Таким образом, оптимально скрыть 7 единиц; значит, задекларирует он (25-7)=18 .
2. Национализация.
Не следует с ним соглашаться.
Предприниматели создают новые фирмы, организуют рабочие места. Когда компания находится в частном ведении, то она эффективно использует ресурсы. Если произвести национализацию, то компании теряют стимулы эффективно использовать свои ресурсы, могут стать убыточными и закрыться. Поэтому могут возникнуть проблемы – увеличение безработицы, уменьшение зарплат.