Задача 4 ОЧ-2018 8 класс
На рынке некоего товара присутствуют два производителя с соответствующими функциями издержек:
TC_1(q_1) = \frac{q_1^2}{2} \\ TC_2(q_2) = \frac{q_2^2}{4}
Потребители готовы купить любое количество товара по цене, равной восьми, и не готовы купить ничего при цене больше восьми.
(а) В данный момент государством установлен налоговый сбор в размере 25\% от цены производителя за каждую единицу проданной продукции. Для каждого производителя определите уровень выпуска, прибыль и величину налоговых сборов, сложившиеся при таких условиях.
(б) Государство рассматривает возможность введения линейной шкалы налогообложения вида t(q_i)=aq_i+b,i=1,2 таким образом, чтобы при этом величина налогового сбора с каждого производителя осталась на прежнем уровне. Существует ли такая шкала? В случае утвердительного ответа на этот вопрос найдите все подходящие комбинации параметров a и b.
(а) Запишем задачу производителя:
Pr_i = 8q_i - TC_i(q_i) - 2q_i = 6q_i - TC_i(q_i) \rightarrow \max_{(q_i)} \\ Pr'_1 = 6 - q_1 = 0 \\ Pr'_2 = 6 - \frac{q_2}{2} = 0
Либо через вершину параболы
Откуда q_1=6, q_2=12, Pr_1=6*6-3*6=18, Pr_2=6*12-6*6=36, T_1=2*6=12, T_2=2*12=24.
(б) Новая задача производителя:
Pr_i = 8q_i - TC_i(q_i) - T(q_i) = 8q_i - TC_i(q_i) - aq_i - b \rightarrow \max_{(q_i)} \\ Pr'_1 = 8 - q_1 - a = 0 \\ Pr'_2 = 8 - \frac{q_2}{2} - a = 0
Либо через вершину параболы.
Тогда налоговые сборы соответственно равны
T_1 = (8 - a)a + b = 12 \\ T_2 = 2(8 - a)a + b = 24
Очевидно, (8-a)a=12, откуда b=0. Корни квадратного уравнения на a равны соответственно 2 и 6. Тем самым вводится фиксированный налог в размере 2 или 6 в расчете на единицу произведенной продукции.
Ответ:
(2;0) и (6;0)