(а) Запишем задачу производителя:

Pr_i = 8q_i - TC_i(q_i) - 2q_i = 6q_i - TC_i(q_i) \rightarrow \max_{(q_i)} \\ Pr'_1 = 6 - q_1 = 0 \\ Pr'_2 = 6 - \frac{q_2}{2} = 0

Либо через вершину параболы

Откуда q_1=6, q_2=12, Pr_1=6*6-3*6=18, Pr_2=6*12-6*6=36, T_1=2*6=12, T_2=2*12=24.

(б) Новая задача производителя:

Pr_i = 8q_i - TC_i(q_i) - T(q_i) = 8q_i - TC_i(q_i) - aq_i - b \rightarrow \max_{(q_i)} \\ Pr'_1 = 8 - q_1 - a = 0 \\ Pr'_2 = 8 - \frac{q_2}{2} - a = 0

Либо через вершину параболы.

Тогда налоговые сборы соответственно равны

T_1 = (8 - a)a + b = 12 \\ T_2 = 2(8 - a)a + b = 24

Очевидно, (8-a)a=12, откуда b=0. Корни квадратного уравнения на a равны соответственно 2 и 6. Тем самым вводится фиксированный налог в размере 2 или 6 в расчете на единицу произведенной продукции.

Ответ:

(2;0) и (6;0)