Задача 1 ОЧ-2015 (11 класс)
Население некоторого острова составляет ровно человек. Самый бедный получает всего дохода страны. Доход следующего жителя выше дохода предыдущего ровно на процентных пункта. Найдите коэффициент Джини в данной стране.
Правитель данного острова, который, безусловно, является самым богатым жителем, убежден, что высокое неравенство вредит экономике острова в долгосрочном периоде. Однако в текущий момент времени, как вы уже, наверное, посчитали, ему принадлежит лишь малая часть доходов.
Правитель раздумывает законным способом отнять часть доходов у своего населения. Если это произойдет, и правитель попытается нарушить сложившееся распределение доходов, возмущенное несправедливостью население немедленно объединится в одну партию. После присвоения правителем части доходов населения объединенная партия разделит оставшиеся доходы поровну между членом партии.
Функцию полезности правителя можно охарактеризовать следующим уравнением:
где - коэффициент Джини на острове, выраженный в долях; – доля доходов правителя в общем доходе острова, выраженная в процентах (, а не , например).
Определите долю доходов правителя, которая максимизирует его уровень полезности. Захочет ли правитель ограбить население и присвоить часть его дохода? Если да, то какую долю дохода он присвоит?
Примечание:
Ответ
1. Определим, сколько человек живет на острове.
Пусть – доля (в ) дохода -ого островитянина в общей доле доходов острова.
Используя формулу -ого члена арифметической прогрессии , а также очевидный факт, что сумма всех долей жителей должна составлять получаем систему уравнений:
Решая, которую получаем, что , .
2. Вычисление индекса Джини.
Каждый индивид образует группу, которая составляет в общей численности населения.
Доли доходов индивидов соответственно равны : .
Накопленные доли доходов тогда равны: .
Вычислим площадь под кривой Лоренца , которая состоит из одного треугольника и трапеций:
Выражение в квадратных скобках можно преобразовать следующим образом: каждая из долей входит в него раз (когда появляется впервые) плюс число раз, равное удвоенному количеству скобок, в которые она входит после первого своего появления.
Поэтому:
Итак, .
Тогда коэффициент Джини равен
3. Стоит ли правителю что-либо менять?
Напомним, что – доля доходов правителя в общем доходе острова. После объединения человек в одну партию и равномерного распределения доходов между ее членами правитель останется наиболее богатым на острове. Поэтому индекс Джини теперь будет равен:
- сумма площади треугольника с катетами и и площади трапеции с основаниями и .
Тогда функция полезности правителя будет равна:
Максимум этой функции достигается при . И полезность будет равна .
Полезность до действий правителя была равна .
Сравнивая полезности, получаем, что правителю выгодно нарушить существующее распределение доходов (точное значение функции полезности вычислять необязательно, можно просто сказать, что выражение )