Задача 1 ОЧ-2015 (11 класс)
Население некоторого острова составляет ровно n человек. Самый бедный получает 0,01\% всего дохода страны. Доход следующего жителя выше дохода предыдущего ровно на 0,02 процентных пункта. Найдите коэффициент Джини в данной стране.
Правитель данного острова, который, безусловно, является самым богатым жителем, убежден, что высокое неравенство вредит экономике острова в долгосрочном периоде. Однако в текущий момент времени, как вы уже, наверное, посчитали, ему принадлежит лишь малая часть доходов.
Правитель раздумывает законным способом отнять часть доходов у своего населения. Если это произойдет, и правитель попытается нарушить сложившееся распределение доходов, возмущенное несправедливостью население немедленно объединится в одну партию. После присвоения правителем части доходов населения объединенная партия разделит оставшиеся доходы поровну между n-1 членом партии.
Функцию полезности правителя можно охарактеризовать следующим уравнением:
U(G; a) = 10(a + 1) - 1000G^2,
где G - коэффициент Джини на острове, выраженный в долях; a – доля доходов правителя в общем доходе острова, выраженная в процентах (5\%, а не 0,05, например).
Определите долю доходов правителя, которая максимизирует его уровень полезности. Захочет ли правитель ограбить население и присвоить часть его дохода? Если да, то какую долю дохода он присвоит?
Примечание:
1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
1. Определим, сколько человек живет на острове.
Пусть a_i – доля (в \% ) дохода i -ого островитянина в общей доле доходов острова.
Используя формулу n -ого члена арифметической прогрессии (a_n=a_1+d(n-1)), а также очевидный факт, что сумма всех долей жителей должна составлять 100\% получаем систему уравнений:
\begin{cases} a_n = 0.01 + 0.02(n - 1) \\ \frac{0.01 + a_n}{2} \cdot n = 100 \end{cases}
Решая, которую получаем, что n=100, a_{100}=1,99.
2. Вычисление индекса Джини.
Каждый индивид образует группу, которая составляет 1\% в общей численности населения.
Доли доходов индивидов соответственно равны : 0,01\%; 0,03\%;0,05\%;...1,97\%;1,99\%.
Накопленные доли доходов тогда равны: 0,01\%;0,01\%+0,03\%+0,05\%;...;...1,97\%+1,99\%.
Вычислим площадь под кривой Лоренца (S), которая состоит из одного треугольника и 99 трапеций:
S = 12 \times \left[ 1 \times 0,01 + 1 \times \left( 0,01 + 0,03 \right) + 1 \times \left( \left( 0,01 + 0,03 \right) + \left( 0,01 + 0,03 + 0,05 \right) \right) + \cdots \right]
Выражение в квадратных скобках можно преобразовать следующим образом: каждая из долей 0,01\%;0,03\%;0,05\%;...1,97\%;1,99\% входит в него 1 раз (когда появляется впервые) плюс число раз, равное удвоенному количеству скобок, в которые она входит после первого своего появления.
Поэтому:
\left[ \ldots \right] = 0,01(1 + 2 \times 99) + 0,03(1 + 2 \times 98) + 0,05(1 + 2 \times 97) + \ldots + 1,97(1 + 2 \times 1) + 1,99
0,01 + 0,03 + \ldots + 1,99 = 100
2\left(0,01 \times 99 + 0,03 \times 98 + \ldots + 1,97 \times 1\right) =
= 2\left(0,01 \times 99 + \left(0,01 + 0,02\right) \times 98 + \ldots + \left(0,01 + 0,02 \times 98\right) \times 1\right)
0,01 \times (99 + 98 + \ldots + 1) = 1 + 992 \times 99 \times 0,01
0,02 \times (98 + 97 + \ldots + 1) = 1 + 982 \times 98 \times 0,02
0,02 \times (97 + 96 + \ldots + 1) = 1 + 972 \times 97 \times 0,02
....
\left[ \ldots \right] = 2 \times \left(-0,01 \times 1 + 992 \times 99 + 0,02 \times 12 \times \left[(1+99) \times 99 + (1+98) \times 98 + \ldots + (1+1) \times 1\right]\right) = = 2\left(-0,01 \times 1 + 992 \times 99 + 0,01(1 + 992 \times 99 + (992 + 982 + \ldots + 12))\right) =
= 2 \times (992 + 982 + \ldots + 12) = 33 \times 199
Итак, S=12*(33*199+100).
Тогда коэффициент Джини равен G = 1 - \frac{S}{0.5 \times 100 \times 100} = 0,3333.
3. Стоит ли правителю что-либо менять?
Напомним, что a – доля доходов правителя в общем доходе острова. После объединения 99 человек в одну партию и равномерного распределения доходов между ее членами правитель останется наиболее богатым на острове. Поэтому индекс Джини теперь будет равен:
S = 12 \cdot 99 \cdot (100 - a) + 12 \cdot 1 \cdot (100 - a + 100) = 5050 - 50a
- сумма площади треугольника с катетами 99 и (100-a) и площади трапеции с основаниями (100-a) и 100.
G = 1 - \frac{S}{0.5 \cdot 100 \cdot 100} = \frac{a - 1}{100}
Тогда функция полезности правителя будет равна:
U = 10(a + 1) - 1000 \cdot \left(\frac{a - 1}{100}\right)^2
Максимум этой функции достигается при a=51. И полезность будет равна U=517,5.
Полезность до действий правителя была равна U=−81,18889.
Сравнивая полезности, получаем, что правителю выгодно нарушить существующее распределение доходов (точное значение функции полезности вычислять необязательно, можно просто сказать, что выражение 10 \cdot (1,99 + 1) - 1000 \cdot 0,33332 < 517,5. )