Монополия ли?
В одном далеком государстве есть одна единственная фирма, производящая поезда метро.
К сожалению заказчик у неё тоже всего один – государство. При этом цену сначала назначает государство, а фирма решает продавать ей поезд или нет. Государство знает издержки фирмы. Издержки фирмы . К сожалению фирма может произвести только один поезд в течение одного периода. Перед периодом фирма и государство заключают контракт, затем в начале следующего периода поезд поступает в эксплуатацию и государство платит фирме оговорённую сумму. Сумма в разные периоды может различаться. Если контракт перед периодом не будет заключен, то фирма объявит о банкротстве и перестанет существовать. Кол-во периодов – . По окончанию фирма обанкротится, если не сделала этого раньше, а все поезда придут в негодность. Каждый поезд приносит государству д.е. в период, считайте, что эту сумму государство получает в начале периода.
А). При какой ставке процента, государство, максимизирующее дисконтированную прибыль, купит ровно поезда? поезда? Ставка процента положительна и меньше .
Б) Если ставка процента 100%, а периодов бесконечно много, но срок службы одного поезда – 5 периодов, то сколько всего поездов приобретёт государство. Впишите ответ на пункт Б
А) Поскольку государство назначает цену и может делать её разной для разных поездов, то для каждого поезда эта цена будет равна стоимости его производства. Если цена ниже, то сделки не будет, так как фирма понесёт издержки и не захочет производить поезд.
Представим доходность каждого поезда. Первый поезд будет работать периода (гос-во получит его в начале периода), второй – , и т.д. Запишем доходность каждого поезда за весь срок. Заметим, что поскольку мы платим деньги за поезд только в период, когда начали его эксплуатировать, то мы можем засчитать этот период как первый для каждого поезда. Заметим, что если прибыль от последнего поезда больше нуля, то прибыль от всех предыдущих также выше нуля, так как затраты на них меньше, а периодов они служат больше.
; где – кол-во периодов, которое прослужит поезд. Предельные издержки каждого поезда с номером , . и связаны между собой . Сложим по формуле геометрической прогрессии.
. Чтобы государство приобрело три поезда, доходность поезда с была больше нуля, а поезда с меньше нуля. Если подставить сюда то , при чём это не зависит от ставки процента. То есть доходность от поезда всегда отрицательна, и мы никогда его не приобретаем. Ответ на второй вопрос: ни при какой ставке процента. Подставим теперь . Получим выражение: ; решив которое получим, что , но помним, что ставка не может быть выше , а значит , при любых ставках из этого промежутка (то есть при всех ставках, доступных нам по условию задачи) государству выгодно покупать третий поезд.
Б) Подсчитаем доход от одного поезда. В выше указанную формулу, подставим и , разумеется, не учтя при этом издержки на производство поезда (мы пока не знаем, сколько поездов закупим). .
Составим теперь условие покупки поезда с номером .
. Отсюда и, поскольку только целое, то поезд с номером мы приобретем, а вот поезд с номером уже будет убыточным.
Ответ: .