Просто астрономический выбор дислокации
В городе Эллипсения, в двумерном координатном мире есть две фирмы: A и B. Пусть начало координат является центром города. Фирмы A и B хотят построить свои склады, чтобы торговать в магазинах с координатами (0;8), (8;0), (0;-8), (8;0). Фирме A разрешили расположить склад на контуре эллипса с уравнением x^2/36+y^2/100=1 ; фирме B на контуре эллипса с уравнением x^2/100+y^2/36=1. Прибыль с торговли в одном магазине фиксирована и равна 30. Издержки на доставку товара в один магазин равны расстоянию между этим магазином и складом.
А). Пусть фирмам разрешено торговать каждой только в двух магазинах. Для фирмы A:(0;-8)(0;8), для фирмы B:(-8;0)(8;0). Найдите оптимальные точки расположения
складов для этих фирм. (C)
Б). Теперь они могут торговать во всех четырёх. Найдите оптимумы.
В). Теперь правительству надоела экспансия фирм A и B и оно ввело санкции:
1). В квадрате, ограниченном точками (6;6)(-6;6)(-6;-6)(6;-6) больше нельзя строить склады.
2). Фирмам можно торговать только так, как указано в пункте A. Единственное послабление – фирмы будут получать субсидию, равную расстоянию между их складами. При каком условии взаиморасположения складов может быть достигнуто равновесие Нэша. (После выбора итоговой позиции склада, ни у одной из фирм не должно возникнуть желания перестроить его в другом месте).
А) Довольно легко понять, что точки магазинов являются фокусами предложенных эллипсов. Исходя из определения фокусов суммарное расстояние от любой точки на эллипсе до двух фокусов фиксировано и равно удвоенной большой полуоси. Большая ось в обоих эллипсах равна 20. Таким образом суммарные издержки на доставку до обоих магазинов 20 (вне зависимости от фирмы). При этом фирмам невыгодно отклоняться от продажи ни в одном из магазинов, тк тот приносит 30 единиц прибыли, а издержки доставки до него точно меньше 20. При желании то, что сумма расстояний до этих точек равна 20 можно вывести и без знания свойства фокусов. Для этого надо, используя теорему Пифагора, записать расстояние до каждого магазина. Приведём пример для фирмы 2.
\sqrt{y^2 + (8-x)^2} + \sqrt{y^2 + (8+x)^2} = \sqrt{36 - \frac{36x^2}{100} + (8-x)^2} + \sqrt{36 - \frac{36x^2}{100} + (8+x)^2}=\sqrt{\left(10 - \frac{8}{10}x\right)^2} + \sqrt{\left(10 + \frac{8}{10}x\right)^2} = \left|10 - \frac{8}{10}x\right| + \left|10 + \frac{8}{10}x\right| на ограничении, где -10\leq x\leq 10, это складывается в 20.
Аналогичную операцию можно проделать и для второй фирмы. Ответ можно сформулировать так: любая точка на эллипсах, доступная фирмам, является оптимальной.
Б). В прошлом пункте мы нашли, что прибыль фирм A и B в выделенных магазинах никак не зависит от их местоположения. Поэтому, теперь мы будем максимизировать прибыль в двух других открывшихся для фирм A и B. Оптимальной стратегией будет расположиться на прямой между двумя вновь открывшимися магазинами. На рисунке рыжим отмечены оптимальные точки для фирмы 2. (0;6)(0;-6). Суммарное расстояние до магазинов в них будет 16. Обосновать их оптимальность можно так: любую другую точку на синем эллипсе мы можем спроецировать на отрезок между точками (0;8)(0;-8). Тогда точка-проекция на отрезке разобьёт его на два меньших отрезка, являющихся проекциями на эту прямую отрезков, соединяющих магазины и точку на эллипсе.
Например, на этом рисунке зелёным выделены отрезок расстояния до магазина (0;8) и его проекция, а фиолетовым отрезок расстояния до магазина (0;-8) и его проекция. Поскольку каждая проекция меньше по отдельности, чем соответствующий ей отрезок, то и сумма проекций будет меньше чем сумма этих отрезков. Сумма проекций как раз равна 16, и она меньше чем сумма расстояний до магазинов. Чтд. Аналогично доказывается, что для фирмы 1 оптимумы в точках (-6;0) или (6;0).
В). Поскольку мы вновь вернулись к условиям торговли в магазинах, являющимися фокусами, то при поиске оптимальных точек мы точно не будем опираться на издержки расстояния до магазинов, в этом плане нам всё равно, где строить склад. Значит фирмы будут максимизировать расстояние между их складами для наибольшей субсидии. Заметим, что максимально возможное расстояние будет равновесием по Нэшу. Действительно, если это максимальное расстояние, то в этих точках они получают максимально возможную субсидию, у них нет стимулов отклоняться.