а) Поскольку каждый соплеменник съедает всю принесенную им добычу, x_i = y_i = \sqrt{c_i} \quad для всех i. Поэтому каждый член племени, выбирая, сколько принести добычи, максимизирует функцию

u_i = y_i - y_i^2 + R

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями вниз. Наибольшее значение будет достигаться в вершине параболы:

y_i^* = 0.5;

c_i^* = 0.25;

u_i = 0.25 + R,

то есть каждый соплеменник будет тратить на охоту четверть своего времени, приносить половину условной единицы добычи и получать удовольствие, равное 0,25+R единиц.

б) Всякий раз при равномерном разделе добычи будет выполняться:

x_i = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} y_j

Функция, которую максимизирует i -й член племени, имеет вид:

u_i = x_i - c_i + R = \frac{y_i + \sum_{j \neq i} y_j}{N} - y_i^2 + R

где \sum_{j \neq i} y_j — количество добычи, принесенное всеми участниками, кроме i -го. Если воспринимать все переменные, на которые i -й участник не влияет, как константы, то данная функция также является квадратичной с максимумом в вершине параболы. Найдем оптимальные значения количества принесенной добычи и времени, проведенного в лесу:

y_i^* = \frac{1}{2N};

c_i^* = \frac{1}{4N^2}.

Оптимальное количество принесенной добычи и доля времени, потраченного на охоту, будут одинаковыми для всех участников.

u_i = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} y_j^* - c_i + R = \frac{y_i^* \cdot N}{N} - c_i^* + R = \frac{1}{2N} - \frac{1}{4N^2} + R.

Нетрудно заметить, что результаты не отличаются от ответов пункта а) только при N=1 (действительно, если в племени только один человек, то нет никакой разницы, будет ли он просто съедать добычу или делить ее «поровну»), а при любом N>1 количество принесенной добычи, время, проведенное в лесу, и удовольствие, полученное каждым участником, уменьшится при введении дележа добычи, и будет тем меньше, чем больше людей в племени (последнее утверждение для значения функции удовольствия можно доказать, показав отрицательность ее производной по N или разности ее значений при N=k+1 и N=k ). Это происходит потому, что при дележе добычи у каждого участника появляется стимул работать меньше: ведь он понимает, что ему достанется только \frac{1}{N} от того, что он принесет, а долю \frac{N-1}{N} придется отдать соплеменникам. С другой стороны, думает он, большая часть того, что он съест, будет зависеть не от его вклада в общую кучу, а от вклада других членов племени. Чем больше N , тем большую долю придется отдать другим и тем меньше он сам «почувствует» свой вклад (так, если в племени хотя бы 100 человек, то каждый соплеменник съест всего лишь 1/100 от того, что принесет сам, а 99/100 его собственного ужина составит то, что принесли другие!), то есть тем меньше добычи он захочет принести. От нежелания каждого работать в полную силу, вкладываясь в общественное благо, страдают все члены племени, при том что для каждого из них в отдельности такое его решение является рациональным.