Мумба-Юмба
В племени Мумба-Юмба человек ( ), каждый из которых ходит на охоту в лес. -й соплеменник каждый день тратит на охоту долю своего времени ( ) и приносит условных единиц добычи, при этом его производственная функция задается формулой . Каждый вечер, после возвращения охотников из леса, все соплеменники собираются вокруг костра и съедают всю принесенную за день добычу (каждый — свою), танцуя ритуальные танцы. Исследование, проведенное антропологами, показало, что -й член племени оценивает свое удовольствие от прожитого дня в единиц удовольствия, причем , где — количество съеденной добычи, а — удовольствие от ритуальных танцев, которое всегда одинаковое и ни от чего не зависит. Каждый член племени стремится получить как можно больше удовольствия.
а) Сколько добычи будет каждый соплеменник приносить из леса в день, сколько времени будет тратить на охоту и какое удовольствие получать?
б) Выступая с новогодним обращением, вождь племени заявил, что отныне вся принесенная добыча будет складываться в одну кучу и затем делиться между всеми соплеменниками поровну. Изменится ли поведение членов племени в этих условиях? Ответьте на вопросы пункта а) и объясните получившиеся результаты.
Ответ
а) Поскольку каждый соплеменник съедает всю принесенную им добычу, для всех . Поэтому каждый член племени, выбирая, сколько принести добычи, максимизирует функцию
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями вниз. Наибольшее значение будет достигаться в вершине параболы:
то есть каждый соплеменник будет тратить на охоту четверть своего времени, приносить половину условной единицы добычи и получать удовольствие, равное единиц.
б) Всякий раз при равномерном разделе добычи будет выполняться:
Функция, которую максимизирует -й член племени, имеет вид:
где — количество добычи, принесенное всеми участниками, кроме -го. Если воспринимать все переменные, на которые -й участник не влияет, как константы, то данная функция также является квадратичной с максимумом в вершине параболы. Найдем оптимальные значения количества принесенной добычи и времени, проведенного в лесу:
Оптимальное количество принесенной добычи и доля времени, потраченного на охоту, будут одинаковыми для всех участников.
Нетрудно заметить, что результаты не отличаются от ответов пункта а) только при (действительно, если в племени только один человек, то нет никакой разницы, будет ли он просто съедать добычу или делить ее «поровну»), а при любом количество принесенной добычи, время, проведенное в лесу, и удовольствие, полученное каждым участником, уменьшится при введении дележа добычи, и будет тем меньше, чем больше людей в племени (последнее утверждение для значения функции удовольствия можно доказать, показав отрицательность ее производной по или разности ее значений при и ). Это происходит потому, что при дележе добычи у каждого участника появляется стимул работать меньше: ведь он понимает, что ему достанется только от того, что он принесет, а долю придется отдать соплеменникам. С другой стороны, думает он, большая часть того, что он съест, будет зависеть не от его вклада в общую кучу, а от вклада других членов племени. Чем больше , тем большую долю придется отдать другим и тем меньше он сам «почувствует» свой вклад (так, если в племени хотя бы 100 человек, то каждый соплеменник съест всего лишь 1/100 от того, что принесет сам, а 99/100 его собственного ужина составит то, что принесли другие!), то есть тем меньше добычи он захочет принести. От нежелания каждого работать в полную силу, вкладываясь в общественное благо, страдают все члены племени, при том что для каждого из них в отдельности такое его решение является рациональным.