Мумба-Юмба
В племени Мумба-Юмба N человек (N \geq 1 ), каждый из которых ходит на охоту в лес. i -й соплеменник каждый день тратит на охоту долю c_i своего времени (0 \leq c_i \leq 1 ) и приносит y_i условных единиц добычи, при этом его производственная функция задается формулой y_i = \sqrt{c_i}. Каждый вечер, после возвращения охотников из леса, все соплеменники собираются вокруг костра и съедают всю принесенную за день добычу (каждый — свою), танцуя ритуальные танцы. Исследование, проведенное антропологами, показало, что i -й член племени оценивает свое удовольствие от прожитого дня в u_i единиц удовольствия, причем u_i=x_i-c_i+R, где x_i — количество съеденной добычи, а R — удовольствие от ритуальных танцев, которое всегда одинаковое и ни от чего не зависит. Каждый член племени стремится получить как можно больше удовольствия.
а) Сколько добычи будет каждый соплеменник приносить из леса в день, сколько времени будет тратить на охоту и какое удовольствие получать?
б) Выступая с новогодним обращением, вождь племени заявил, что отныне вся принесенная добыча будет складываться в одну кучу и затем делиться между всеми соплеменниками поровну. Изменится ли поведение членов племени в этих условиях? Ответьте на вопросы пункта а) и объясните получившиеся результаты.
а) Поскольку каждый соплеменник съедает всю принесенную им добычу, x_i = y_i = \sqrt{c_i} \quad для всех i. Поэтому каждый член племени, выбирая, сколько принести добычи, максимизирует функцию
u_i = y_i - y_i^2 + R
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями вниз. Наибольшее значение будет достигаться в вершине параболы:
y_i^* = 0.5;
c_i^* = 0.25;
u_i = 0.25 + R,
то есть каждый соплеменник будет тратить на охоту четверть своего времени, приносить половину условной единицы добычи и получать удовольствие, равное 0,25+R единиц.
б) Всякий раз при равномерном разделе добычи будет выполняться:
x_i = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} y_j
Функция, которую максимизирует i -й член племени, имеет вид:
u_i = x_i - c_i + R = \frac{y_i + \sum_{j \neq i} y_j}{N} - y_i^2 + R
где \sum_{j \neq i} y_j — количество добычи, принесенное всеми участниками, кроме i -го. Если воспринимать все переменные, на которые i -й участник не влияет, как константы, то данная функция также является квадратичной с максимумом в вершине параболы. Найдем оптимальные значения количества принесенной добычи и времени, проведенного в лесу:
y_i^* = \frac{1}{2N};
c_i^* = \frac{1}{4N^2}.
Оптимальное количество принесенной добычи и доля времени, потраченного на охоту, будут одинаковыми для всех участников.
u_i = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} y_j^* - c_i + R = \frac{y_i^* \cdot N}{N} - c_i^* + R = \frac{1}{2N} - \frac{1}{4N^2} + R.
Нетрудно заметить, что результаты не отличаются от ответов пункта а) только при N=1 (действительно, если в племени только один человек, то нет никакой разницы, будет ли он просто съедать добычу или делить ее «поровну»), а при любом N>1 количество принесенной добычи, время, проведенное в лесу, и удовольствие, полученное каждым участником, уменьшится при введении дележа добычи, и будет тем меньше, чем больше людей в племени (последнее утверждение для значения функции удовольствия можно доказать, показав отрицательность ее производной по N или разности ее значений при N=k+1 и N=k ). Это происходит потому, что при дележе добычи у каждого участника появляется стимул работать меньше: ведь он понимает, что ему достанется только \frac{1}{N} от того, что он принесет, а долю \frac{N-1}{N} придется отдать соплеменникам. С другой стороны, думает он, большая часть того, что он съест, будет зависеть не от его вклада в общую кучу, а от вклада других членов племени. Чем больше N , тем большую долю придется отдать другим и тем меньше он сам «почувствует» свой вклад (так, если в племени хотя бы 100 человек, то каждый соплеменник съест всего лишь 1/100 от того, что принесет сам, а 99/100 его собственного ужина составит то, что принесли другие!), то есть тем меньше добычи он захочет принести. От нежелания каждого работать в полную силу, вкладываясь в общественное благо, страдают все члены племени, при том что для каждого из них в отдельности такое его решение является рациональным.