Пусть введен пропорциональный подоходный налог со ставкой t, 0<t<1. В этом случае налог равен tY. Таким образом, располагаемый доход есть

Y_d=Y-tY=(1-t)Y.

Значит, потребление имеет вид

C=C_a+mpc(1-t)Y.

Запишем условие равновесия:

Y=C+I+G=[C_a+mpc(1-t)Y]+I+G.

Отсюда найдем равновесный ВВП:

Y = \frac{C_a + I + G}{1 - \text{mpc}(1 - t)}.

Мультипликатор госзакупок –– это изменение Y при изменении G на единицу.

Найти его можно двумя способами.

Способ 1. (через формулу равновесного ВВП).

Мультипликатор есть коэффициент линейной функции Y(G), найденной нами выше.

\text{mult}_G = \frac{1}{1 - \text{mpc}(1 - t)}.

Способ 2. (через сумму прогрессии).

Единица госзакупок сначала вызовет рост ВВП на единицу, что увеличит доходы домохозяйств, а значит, их потребление на (1-t)mpc. Этот рост потребления далее увеличит доходы домохозяйств на (1-t)mpc, а значит, их потребление на ((1-t)mpc)^2, и т.д.

Итоговый рост ВВП составит \Delta(Y) = 1 + (1 - t)mpc + ((1 - t)mpc)^2 + \ldots = \frac{1}{1 - mpc(1 - t)}, где мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Значит, \text{mult}_G = \frac{\Delta(Y)}{\Delta(G)} = \frac{\Delta(Y)}{1} = \frac{1}{1 - mpc(1 - t)}.