Два налога — два мультипликатора
Рассмотрим закрытую экономику со следующей функцией потребления домохозяйств: C(Y_d)=C_a+mpc*Y_d, где C_a>0 — автономное потребление, Y_d — располагаемый доход, а предельная склонность к потреблению удовлетворяет условию 0<mpc<1. Обозначим за G постоянные государственные закупки, за I –– постоянные инвестиции. Государственный бюджет может быть несбалансированным.
а) ( 8 баллов) Предположим, что в экономике действует пропорциональный подоходный налог со ставкой t, где 0<t<1. Определите равновесный уровень выпуска (ВВП) и выведите формулу мультипликатора государственных закупок для него.
Пусть введен пропорциональный подоходный налог со ставкой t, 0<t<1. В этом случае налог равен tY. Таким образом, располагаемый доход есть
Y_d=Y-tY=(1-t)Y.
Значит, потребление имеет вид
C=C_a+mpc(1-t)Y.
Запишем условие равновесия:
Y=C+I+G=[C_a+mpc(1-t)Y]+I+G.
Отсюда найдем равновесный ВВП:
Y = \frac{C_a + I + G}{1 - \text{mpc}(1 - t)}.
Мультипликатор госзакупок –– это изменение Y при изменении G на единицу.
Найти его можно двумя способами.
Способ 1. (через формулу равновесного ВВП).
Мультипликатор есть коэффициент линейной функции Y(G), найденной нами выше.
\text{mult}_G = \frac{1}{1 - \text{mpc}(1 - t)}.
Способ 2. (через сумму прогрессии).
Единица госзакупок сначала вызовет рост ВВП на единицу, что увеличит доходы домохозяйств, а значит, их потребление на (1-t)mpc. Этот рост потребления далее увеличит доходы домохозяйств на (1-t)mpc, а значит, их потребление на ((1-t)mpc)^2, и т.д.
Итоговый рост ВВП составит \Delta(Y) = 1 + (1 - t)mpc + ((1 - t)mpc)^2 + \ldots = \frac{1}{1 - mpc(1 - t)}, где мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Значит, \text{mult}_G = \frac{\Delta(Y)}{\Delta(G)} = \frac{\Delta(Y)}{1} = \frac{1}{1 - mpc(1 - t)}.
б) ( 10 баллов) Теперь рассмотрим другую ситуацию: подоходный налог отменен, но вместо него введен пропорциональный налог на потребление с той же ставкой t.
Механизм следующий:
- В начале каждого периода домохозяйства получают весь свой текущий доход.
- Они немедленно уплачивают налог в размере доли t от того объема потребления, который наблюдался в предыдущем периоде.
- После уплаты налога они планируют текущее потребление по заданной функции C(Y_d).
Назовем равновесными те значения ВВП и потребления, которые, установившись один раз, не меняются из периода в период. Найдите равновесный ВВП и мультипликатор госзакупок для него.
В равновесии предполагается, что уровни потребления и ВВП не меняются со временем, значит потребление текущего периода равно потреблению предыдущего, и налог можно записать как T=tC.
Тогда располагаемый доход в равновесии:
Y_d=Y-tC.
Функция потребления в равновесии:
C = C_a + mpc(Y_d) = C_a + mpc(Y - tC).
Решим это уравнение относительно C : C = \frac{C_a + mpc \cdot Y}{1 + mpc \cdot t}.
Подставим это выражение в уравнение Y=C+I+G :
Y = \frac{C_a + mpc \cdot Y}{1 + mpc \cdot t} + I + G. \\ Отсюда выражаем Y : Y = \frac{C_a + (I + G)(1 + mpc \cdot t)}{1 - mpc(1 - t)}.
Мультипликатор госзакупок есть коэффициент новой линейной функции Y(G) :
mult_G = \frac{1 + mpc \cdot t}{1 - mpc(1 - t)}.
в) ( 2 балла) Сравните найденные мультипликаторы государственных закупок для случаев а) и б). В каком из них мультипликатор будет больше?
Сравним мультипликаторы. Знаменатель у них одинаковый и положительный: (1-mpc(1-t)). Числитель у первого мультипликатора равен 1, а у второго — (1+mpc*t). Поскольку mpc>0 и t>0, выполнено (1+mpc*t)>1. Следовательно, мультипликатор госзакупок при налоге на потребление больше, чем при налоге на доход.