Запишем функцию суммарной полезности U(x_1, x_2, x_3) :

U(x_1, x_2, x_3) = 10x_1 - x_1^2 + 10x_2 - x_2^2 + 10x_3 - x_3^2 = 75 - (x_1 - 5)^2 - (x_2 - 5)^2 - (x_3 - 5)^2

откуда для определенного уровня полезности U_0 получаем уравнение кривой безразличия:

75 - U_0 = (x_1 - 5)^2 + (x_2 - 5)^2 + (x_3 - 5)^2.

Данное уравнение задает в координатах (x_1, x_2, x_3) множество концентрических сфер (см. график).

б) Бюджетное ограничение имеет вид: x_1+x_2+x_3\leq{I}. Заметим, что максимум суммарной полезности достигается в точке (x_1; x_2; x_3)=(5; 5; 5), поэтому если этот набор доступен потребителю, то он выберет его (Случай 1 ). Иначе оптимум достигается при выполнении условия касания границы бюджетного ограничения (плоскости x_1+x_2+x_3=I ) и кривой безразличия (Случай 2 ).

Случай 1. Если 5 + 5 + 5 \leq I \Rightarrow I \geq 15, оптимум достигается в точке U^*(x_1^*; x_2^*; x_3^*)=U(5; 5; 5)=75.

Случай 2. I<15. Если плоскость x_1+x_2+x_3=I касается сферы, то расстояние \rho от центра сферы (точки (5; 5; 5) ) до плоскости равно радиусу сферы, то есть величине \sqrt{75-U}. Составим соответствующее уравнение:

\rho = \frac{1 \cdot 5 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 5 - I}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \sqrt{75 - U} \Rightarrow U^* = 75 - \frac{1}{3}(15 - I)^2

Ответ:

а)

б) U^* = 75 - \frac{1}{3}(15 - I)^2