Трехмерное потребление
Господин M потребляет всего три блага: жареную картошку (x_1), майонез (x_2) и агрегированное благо (x_3). Полезность, получаемая от потребления каждого из них, описывается функцией: u_i(x_i)=10x_i-x_i^2. Известно, что доход потребителя составляет I д.ед, а рыночные цены на все блага равны 1.
а) Постройте карту кривых безразличия в координатах (x_1, x_2, x_3) , если г. М максимизирует суммарную полезность U = \sum u_i(x_i).
б) Определите максимально возможный уровень полезности U(x_1^*, x_2^*, x_3^*) при различных значениях I.
Запишем функцию суммарной полезности U(x_1, x_2, x_3) :
U(x_1, x_2, x_3) = 10x_1 - x_1^2 + 10x_2 - x_2^2 + 10x_3 - x_3^2 = 75 - (x_1 - 5)^2 - (x_2 - 5)^2 - (x_3 - 5)^2
откуда для определенного уровня полезности U_0 получаем уравнение кривой безразличия:
75 - U_0 = (x_1 - 5)^2 + (x_2 - 5)^2 + (x_3 - 5)^2.
Данное уравнение задает в координатах (x_1, x_2, x_3) множество концентрических сфер (см. график).
б) Бюджетное ограничение имеет вид: x_1+x_2+x_3\leq{I}. Заметим, что максимум суммарной полезности достигается в точке (x_1; x_2; x_3)=(5; 5; 5), поэтому если этот набор доступен потребителю, то он выберет его (Случай 1 ). Иначе оптимум достигается при выполнении условия касания границы бюджетного ограничения (плоскости x_1+x_2+x_3=I ) и кривой безразличия (Случай 2 ).
Случай 1. Если 5 + 5 + 5 \leq I \Rightarrow I \geq 15, оптимум достигается в точке U^*(x_1^*; x_2^*; x_3^*)=U(5; 5; 5)=75.
Случай 2. I<15. Если плоскость x_1+x_2+x_3=I касается сферы, то расстояние \rho от центра сферы (точки (5; 5; 5) ) до плоскости равно радиусу сферы, то есть величине \sqrt{75-U}. Составим соответствующее уравнение:
\rho = \frac{1 \cdot 5 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 5 - I}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \sqrt{75 - U} \Rightarrow U^* = 75 - \frac{1}{3}(15 - I)^2
Ответ:
а)
б) U^* = 75 - \frac{1}{3}(15 - I)^2