Задание 2. Страна Yek
Считайте все величины бесконечно делимыми, если не сказано иного. Кроме того, всегда можно произвести линейную комбинацию товаров.
В стране Yek на рынке двух товаров, названия которых никому нельзя называть, есть три фактора производства: труд, капитал и самая важная основа для производства (назовем ее основным ресурсом), без которой товары не получится произвести. Эти товары, под кодовыми названиями S и G, производятся только в двух регионах, и в каждом из них есть 200 единиц основного ресурса, который, кстати говоря, нельзя перемещать в другой регион в сыром виде.
Если мы хотим произвести некоторое количество единиц товара S, нам нужно всегда в два раза больше основного ресурса (в любом регионе).
Однако единица товара G в регионах требует разного количества основного ресурса. Так, в первом регионе нужно четыре единицы, а во втором — пять.
a) Изобразите на графике все возможные комбинации товаров S и G, которые можно получить из основного ресурса в обоих регионах суммарно. Также выведите общую КПВ в координатах (S;G). ( 2 балла)
Основной ресурс:
1 регион: S=100-2G
2 регион: : S=100-2,5G
Совместная КПВ: S=-G, \quad G \in [0,50] \quad S=225-2,5G, \quad G\in [50,90]
При незначительной ошибке в решении, даже если это привело к правильному ответу: -1 балл. При грубой ошибке: -2 балла
b) Как вы думаете, почему производство товара G в данном случае может требовать разного количества основного ресурса? ( 1 балл)
Для производства вышеназванных товаров кроме основного ресурса нужен еще труд или капитал. Страна Yek может решить использовать 240 единиц любого из этих факторов, но не может использовать и то, и другое. Труд и капитал абсолютно мобильны. Для производства S нужно в два раза больше труда, чем капитала, и из любого действительного числа x (единиц) труда можно произвести x единиц G. Если мы хотим использовать капитал вместо труда, то из каждой единицы капитала может быть произведена единица товара S, а единица товара G требует в полтора раза больше капитала, чем единица товара S требует труда.
Балл за любое разумное предположение о дифференцируемых основных ресурсах в регионах или о другом различии в регионах. Если из ответа следует, что технологию (или другую причину) можно перенять и изменить ограничения при необходимости: -1 балл.
c) Изобразите, как теперь будет выглядеть совместная КПВ двух регионов. Подпишите все ключевые точки. Поясните свое решение. ( 3 балла)
Также известно, что эти товары используются исключительно вместе в пропорции S:G=3:1. Кроме того, известно, что всегда есть 6 единиц товара S, которые другие страны отдают в потребление стране Yek на безвозмездной основе.
Также нам нужно использовать один из ресурсов:
Капитал: S=240-3G
Труд: S=120-0,5G
Ключевые точки в КПВ (G,S) : (0,200), \ (40,120), \ (48,96), \ (52.5,93.75), \ (90,0)
Все точки соединены прямыми.
За верные мысли о том, что ограничения на капитал и труд должны быть объединены: +1 балл. За правильный вид КПВ: +1 балл. За все точки, отмеченные правильно: +1 балл. Если где-то нет пояснений, и непонятно, откуда взято: -1 балл за каждую такую часть.
d) Найдите количество товаров S и G, которое суммарно будет произведено в стране Yek. ( 3 балла)
Затем предположим, что предпочтительная комбинация использования товаров S и G изменилась, теперь S:G=a:1. Также известно, что при таких предпочтениях выгодно использовать строго капитал, а ограничение, наложенное основным ресурсом, не влияет на оптимальный выбор.
y=3x-6 – уравнение для пропорции потребления, учитывая дополнительные 6 единиц S.
Пересечение с КПВ на участке капитала: S=240-3G
Точка пересечения: (41, 117)
За правильное уравнение: +1 балл. За нахождение правильного участка КПВ (где пересечение): +1 балл. За правильное выведение того, сколько будет произведено: +1 балл. Если в ответе участник учитывает 6 дополнительных единиц: -1 балл.
e) Найдите все возможные значения a. ( 3 балла)
Из условия следует, что пересечение должно остаться на этом же участке с капиталом. То есть x должны оставаться в промежутке от 40 (включительно) до 48 (не включительно).
Тогда, \frac{240 - 3 \cdot 40 + 6}{40} \quad и \quad \frac{240 - 3 \cdot 48 + 6}{48} – это крайние точки предпочтений.
a \in \left( \frac{51}{24}, 3.15 \right]
За описку, не приводящую к последующим ошибочным вычислениям: - -0 баллов. За неверную скобку: -1 балл. За первые две вычислительные ошибки: -1 балл (один раз). Если ошибок в вычислении больше: еще -1 балл.