Пусть Алексей ходит в магазин n раз и покупает по x кг за раз. Тогда общая величина усилий на все походы составит n(10 + x + 0,4x^2). При этом nx = 30 в силу условия о спросе синиц на семечки.

Таким образом, Алексею нужно минимизировать n(10 + x + 0,4x^2) по двум переменным n и x при условии nx = 30, при условии x > 0, а также при условии, что n является натуральным числом.

Выражая, например, n, получаем, что n = 30/x. Подставляя это условие в целевую функцию, получаем, что суммарная величина усилий составляет

\frac{30}{x}(10 + x + 0,4x^2) = 30 \left( \frac{10}{x} + 0,4x + 1 \right).

Значение этого выражения минимально, когда минимальное значение выражения f(x) = \frac{10}{x} + 0,4x. Его можно минимизировать двумя способами.

Способ 1. В силу неравенства среднего арифметического и среднего геометрического знаем, что f(x) = \frac{10}{x} + 0,4x \geq 2\sqrt{0,4 \cdot 10x} = 4. При этом равенство достигается, когда 10/x = 0,4x, откуда x = \sqrt{25} = 5. Действительно, f(5) = 2 + 2 = 4, значит это точка минимума.

Способ 2. Возьмем производную и приравняем ее к нулю. f'(x) = \frac{-10}{x^2} + 0,4 = 0, откуда x = \sqrt{25} = 5. Значение функции также изменяется на знак с минуса на плюс, значит это действительно точка минимума.

Значит, n = 30/5 = 6. Это натуральное число, так что мы действительно нашли оптимум, удовлетворяющий всем ограничениям. Таким образом, оптимально ходить в магазин 6 раз и покупать по 5 кг семечек