В магазин!
Сколько раз в месяц оптимально ходить в магазин? С одной стороны, каждый поход независимо от количества купленного требует затрат сил и времени, и потому ходить слишком часто неоптимально. С другой стороны, если ходить, скажем, всего 1 раз в месяц, общий вес купленных товаров будет неподъемным (особенно если нет автомобиля). В данной задаче вам предлагается рассмотреть модель этого компромиссного выбора (trade-off).
С наступлением холодов Алексей начинает кормить синиц семечками. Если вес купленных семечек равен x > 0 кг, величина усилий на поход в магазин составляет e(x) = 10 + x + 0,4x^2 условных единиц усилий.
Допустим, в месяц необходимо купить 30 кг семечек (птицы прожорливы). Алексей минимизирует общую величину усилий на походы в магазин, то есть сумму e(x) за все походы. Если каждый раз Алексей покупает одно и то же количество семечек, сколько раз в месяц оптимально ходить в магазин?
Пусть Алексей ходит в магазин n раз и покупает по x кг за раз. Тогда общая величина усилий на все походы составит n(10 + x + 0,4x^2). При этом nx = 30 в силу условия о спросе синиц на семечки.
Таким образом, Алексею нужно минимизировать n(10 + x + 0,4x^2) по двум переменным n и x при условии nx = 30, при условии x > 0, а также при условии, что n является натуральным числом.
Выражая, например, n, получаем, что n = 30/x. Подставляя это условие в целевую функцию, получаем, что суммарная величина усилий составляет
\frac{30}{x}(10 + x + 0,4x^2) = 30 \left( \frac{10}{x} + 0,4x + 1 \right).
Значение этого выражения минимально, когда минимальное значение выражения f(x) = \frac{10}{x} + 0,4x. Его можно минимизировать двумя способами.
Способ 1. В силу неравенства среднего арифметического и среднего геометрического знаем, что f(x) = \frac{10}{x} + 0,4x \geq 2\sqrt{0,4 \cdot 10x} = 4. При этом равенство достигается, когда 10/x = 0,4x, откуда x = \sqrt{25} = 5. Действительно, f(5) = 2 + 2 = 4, значит это точка минимума.
Способ 2. Возьмем производную и приравняем ее к нулю. f'(x) = \frac{-10}{x^2} + 0,4 = 0, откуда x = \sqrt{25} = 5. Значение функции также изменяется на знак с минуса на плюс, значит это действительно точка минимума.
Значит, n = 30/5 = 6. Это натуральное число, так что мы действительно нашли оптимум, удовлетворяющий всем ограничениям. Таким образом, оптимально ходить в магазин 6 раз и покупать по 5 кг семечек