1. (12 баллов за пункт 1)

Мы будем считать трансформеров (в отличие от людей) бесконечно делимыми. По условию задачи цель каждого трансформера - вырабатывать как можно больше энергии, то есть обеспечить максимальную предельную производительность. (1 балл)

Найдём предельную производительность трансформеров на каждом берегу.

На правом берегу MP_{П} = 15,5 - 2T_{П} (2 балла)

На левом берегу MP_{Л} = 0,5 (1 балл)

Заметим, что предельная производительность трансформера на левом берегу больше, чем на правом, если на левом берегу мало трансформеров, но чем больше трансформеров, тем предельная производительность ниже. (2 балла за указание на динамику предельных производительностей)

В итоге трансформеры будут отправляться на правый берег, до тех пор пока выполняется условие MP_{П} \geq MP_{Л}

2 трансформера \leq 15 (2 балла за неравенство)

Тогда в равновесии будет выполняться условие

(по 1 баллу за нахождение равновесного количества трансформеров на каждом берегу)

Равновесный объём энергии на левом берегу будет равен E_{П} = (15,5 - 7,5) * T_{П} - T_{П}^{2} + 240

При этом T_{П} = 7,5

Итак, E_{П} = (15,5 - 7,5) * 7,5 + 240 = 300,

E_{Л} = 0,5 * 22,5 = 11,25 (по 1 баллу за определение равновесного количества энергии)

2. (11 баллов за пункт 2)

Праймус будет максимизировать суммарный объём энергии: E_{П} + E_{Л} = 30 (2 балла)

-T_{П}^{2} + 15,5T_{П} + 240 + 0,5T_{Л}, где \; T_{П} + T_{Л} = 30 (2 балла)

E_{П} + E_{Л} = 15,5T_{П} - T_{П}^{2} + 240 \rightarrow max (2 балла)

-T_{П}^{2} + 15T_{П} + 255 \rightarrow max (2 балла)

Это парабола ветвями вниз, её вершина в точке максимума: T_{П}^{*} = \frac{15}{2} = 7,5 (1 балл)

T_{Л} = 22,5 (1 балл)

E_{П}(7,5) = 300

E_{Л}(22,5) = 11,25

E^{*} = 311,25 (по 1 баллу за каждое верное значение количества энергии)

Объяснение – (до 7 баллов за пункт 3)

Участник может при объяснении использовать понятия: Парето - эффективность, внешние эффекты, трагедии общин. Парадокс задачи: несмотря на то, что в первом случае решение принимает каждый трансформер самостоятельно, а во втором - решение принимается в интересах всех, решения оказываются одинаковыми. Это происходит потому, что каждый трансформер рассматривает общую производственную функцию и учитывает, какую отдачу он принесёт в интересах всех. В результате распределение трансформеров в обоих случаях (в пунктах 1 и 2) является Парето-эффективным, не возникает внешних эффектов и отсутствует явление трагедии общин.