Трансформеры
На планете Кибертрон обитают 30 трансформеров. Трансформеры могут генерировать энергию на правом (П) и левом (Л) берегах Ржавого моря и волны свободно перемещаться с берега на береж. Объём энергии, вырабатываемой на правом берегу, равен E_p = 15,5 \cdot T_p^2 - T_p^2 + 240, где T_p – количество трансформеров на правом берегу. На левом берегу \(L\) объём вырабатываемой энергии равен E_l = 0,5 T_l, где T_l – количество трансформеров на левом берегу.
1) Трансформеры могут свободно выбирать берег, и их жизнедеятельность не ограничена. Цель каждого трансформера – обеспечить выработку как можно большего объёма энергии. Назовём равновесие ситуации, при которой ни один трансформер не захочет менять берег обитания, если остальные останутся там, где находятся в данный момент. Известно, что в итоге трансформеры планеты Киберон оказались в ситуации равновесия. Сколько трансформеров обитает на правом и левом берегах T_p и T_l в ситуации равновесия и чем равен объём энергии, вырабатываемой ими на каждом берегу?
2) Праймус (Высшее Кибертронское божество, создающее трансформеров) уверен, что можно увеличить объём энергии, генерируемой ими, переместив часть трансформеров с одного берега Ржавого моря на другой. Запишите уравнение целевой функции Праймуса, если он хочет, чтобы энергии было как можно больше. Сколько трансформеров разместит Праймус на правом и левом берегах Ржавого моря и чем равен объём вырабатываемой ими энергии на каждом берегу и общий объём вырабатываемой энергии?
3) Сравните количество энергии, выработанной трансформерами в пунктах 1) и 2). При помощи каких экономических концепций можно объяснить результаты, получившиеся у вас?
1. (12 баллов за пункт 1)
Мы будем считать трансформеров (в отличие от людей) бесконечно делимыми. По условию задачи цель каждого трансформера - вырабатывать как можно больше энергии, то есть обеспечить максимальную предельную производительность. (1 балл)
Найдём предельную производительность трансформеров на каждом берегу.
На правом берегу MP_{П} = 15,5 - 2T_{П} (2 балла)
На левом берегу MP_{Л} = 0,5 (1 балл)
Заметим, что предельная производительность трансформера на левом берегу больше, чем на правом, если на левом берегу мало трансформеров, но чем больше трансформеров, тем предельная производительность ниже. (2 балла за указание на динамику предельных производительностей)
В итоге трансформеры будут отправляться на правый берег, до тех пор пока выполняется условие MP_{П} \geq MP_{Л}
2 трансформера \leq 15 (2 балла за неравенство)
Тогда в равновесии будет выполняться условие
(по 1 баллу за нахождение равновесного количества трансформеров на каждом берегу)
Равновесный объём энергии на левом берегу будет равен E_{П} = (15,5 - 7,5) * T_{П} - T_{П}^{2} + 240
При этом T_{П} = 7,5
Итак, E_{П} = (15,5 - 7,5) * 7,5 + 240 = 300,
E_{Л} = 0,5 * 22,5 = 11,25 (по 1 баллу за определение равновесного количества энергии)
2. (11 баллов за пункт 2)
Праймус будет максимизировать суммарный объём энергии: E_{П} + E_{Л} = 30 (2 балла)
-T_{П}^{2} + 15,5T_{П} + 240 + 0,5T_{Л}, где \; T_{П} + T_{Л} = 30 (2 балла)
E_{П} + E_{Л} = 15,5T_{П} - T_{П}^{2} + 240 \rightarrow max (2 балла)
-T_{П}^{2} + 15T_{П} + 255 \rightarrow max (2 балла)
Это парабола ветвями вниз, её вершина в точке максимума: T_{П}^{*} = \frac{15}{2} = 7,5 (1 балл)
T_{Л} = 22,5 (1 балл)
E_{П}(7,5) = 300
E_{Л}(22,5) = 11,25
E^{*} = 311,25 (по 1 баллу за каждое верное значение количества энергии)
Объяснение – (до 7 баллов за пункт 3)
Участник может при объяснении использовать понятия: Парето - эффективность, внешние эффекты, трагедии общин. Парадокс задачи: несмотря на то, что в первом случае решение принимает каждый трансформер самостоятельно, а во втором - решение принимается в интересах всех, решения оказываются одинаковыми. Это происходит потому, что каждый трансформер рассматривает общую производственную функцию и учитывает, какую отдачу он принесёт в интересах всех. В результате распределение трансформеров в обоих случаях (в пунктах 1 и 2) является Парето-эффективным, не возникает внешних эффектов и отсутствует явление трагедии общин.