Робин Гуд
Неравномерность распределения чего-либо (скажем, доходов) можно измерять по-разному. Наиболее известный способ – с помощью индекса Джини. Но существуют и другие способы количественной оценки неравенства в обществе. Например, индекс Робин Гуда, название которого говорит само за себя: это величина, показывающая, какая (минимально возможная) доля дохода должна быть перераспределена, чтобы достичь абсолютно равномерного распределения доходов. Этот показатель равен максимальному расстоянию по вертикали между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца.
(а) Чему будет равен индекс Робин Гуда, если кривая Лоренца имеет вид
?
(б) Определите, что больше – индекс Робин Гуда или индекс Джини – для кривой Лоренца
Учитывая, что кривая Лоренца не может быть выпуклой вверх, верно ли, что неравенство между индексом Робин Гуда и индексом Джини всегда будет выполнено в одну и ту же сторону?
(в) Верно ли, что если в стране неравенство доходов не сильнее, чем в стране , согласно индексу Робин Гуда, то и согласно индексу Джини неравенство доходов в стране также будет не сильнее, чем в ?
Кривая Лоренца отвечает на вопрос, какую долю от суммарного дохода всего общества получает вместе взятая доля беднейшего населения.
Ответ
(а) ( баллов)
Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в ( балла), эта точка принадлежит области определения; сам индекс Робин Гуда составит
Таким образом, для достижения абсолютного равенства должна быть перераспределена часть суммарного дохода ( балла).
Нет обоснования максимума (условия второго порядка) – снижение на балл. Есть арифметические ошибки, не влияющие на дальнейшее решение, – снижение на балл.
(б) ( баллов) Проведём новую кривую Лоренца – ломаную из двух звеньев – так, чтобы излом был в точке, где достигается максимум расстояния между линией абсолютного равенства и исходной кривой Лоренца. Увидим, что для двух кривых индекс Робин Гуда совпадёт. В то же время, для второй кривой Лоренца эта же величина будет являться ещё и индексом Джини. Однако новая кривая Лоренца всюду лежит не ниже исходной (то бишь ближе к линии абсолютно равномерного распределения), а значит, индекс Джини для новой кривой не может быть больше, чем для исходной, а значит, индекс Робин Гуда для исходной кривой не может быть больше, чем индекс Джини для неё же. Это справедливо для всех кривых Лоренца, а не только той, что дана в условии.
Если сначала доказано в общем случае, а затем указано, что результат верен и для данной функции, – баллов. Если наоборот, то балла за решение для этой функции (в том числе балл – индекс Джини, балл – индекс Робин Гуда, балл – сравнение) и балла за полностью верную цепочку рассуждений для общего случая.
(в) ( баллов) В предыдущем пункте установлено, что могут быть такие общества, где индекс Робин Гуда и индекс Джини не совпадают (а именно индекс Робин Гуда строго меньше индекса Джини), а могут быть такие, где индексы совпадают. Тогда, если в стране , а в стране , то можно подобрать эти индексы так, что ; отсюда ясно, что по индексу Робин Гуда неравенство доходов слабее в стране , тогда как по индексу Джини неравенство слабее в стране .
Необязательно приводить в решении конкретные примеры кривых Лоренца, достаточно обойтись этими выкладками (идея о том, что для общества с любым распределением доходов можно подобрать такое общество с двумя однородными группами населения, что индексы Робин Гуда и Джини будут утверждать обратное).
Можно было привести контрпример. Например, для кривой Лоренца индекс Робин Гуда равен , а индекс Джини равен . В обществе, где есть две группы населения ( бедных и богатых), внутри которых доходы распределены равномерно, при этом у бедных совокупного дохода, а у богатых , оба индекса будут равны . По индексу Робин Гуда неравенство сильнее во втором обществе ; по индексу Джини неравенство сильнее в первом обществе .
Вариант контрпримера для тех, кто не изучал интегрирования. Рассмотрим общество с тремя группами населения (бедные – , средние – , богатые – ), внутри которых доходы распределены равномерно, при этом у бедных совокупного дохода, у средних – , а у богатых – . Индекс Робин Гуда будет равен , а индекс Джини будет равен . В обществе, где есть две группы населения ( бедных и богатых), внутри которых доходы распределены равномерно, при этом у бедных совокупного дохода, а у богатых , оба индекса будут равны . По индексу Робин Гуда неравенство сильнее во втором обществе ; по индексу Джини неравенство сильнее в первом обществе .
За полностью верную цепочку рассуждений или полностью обоснованный контрпример – баллов. Если рассуждения в целом верные, но есть пропуски в доказательствах, ставятся неполные баллы в зависимости от размера «пропуска».