(а) ( 6 баллов)

x - y(x) = x - 2 + \sqrt{4 - 3x} = x - 2 + \sqrt{3\left( \frac{4}{3} - x \right)} = \\ = x - \frac{4}{3} - \frac{2}{3} + \sqrt{3}\sqrt{\frac{4}{3} - x} = - \left( \frac{4}{3} - x \right) - \frac{2}{3} + \sqrt{3}\sqrt{\frac{4}{3} - x} = \\ = - \left( \sqrt{\frac{4}{3} - x} \right)^2 - \frac{2}{3} + \sqrt{3}\sqrt{\frac{4}{3} - x} = - t^2 - \frac{2}{3} + \sqrt{3}t \rightarrow \max \quad \frac{1}{\sqrt{3}} \leq t \leq \frac{2}{\sqrt{3}}

Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в t^*=\sqrt 3/2 ( 4 балла), эта точка принадлежит области определения; сам индекс Робин Гуда составит

R = -t^2 - \frac{2}{3} + \sqrt{3}t = - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 - \frac{2}{3} + \sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{2} = \dots = \frac{1}{12}

Таким образом, для достижения абсолютного равенства должна быть перераспределена 1/12 часть суммарного дохода ( 2 балла).

Нет обоснования максимума (условия второго порядка) – снижение на 1 балл. Есть арифметические ошибки, не влияющие на дальнейшее решение, – снижение на 1 балл.

(б) ( 7 баллов) Проведём новую кривую Лоренца – ломаную из двух звеньев – так, чтобы излом был в точке, где достигается максимум расстояния между линией абсолютного равенства и исходной кривой Лоренца. Увидим, что для двух кривых индекс Робин Гуда совпадёт. В то же время, для второй кривой Лоренца эта же величина будет являться ещё и индексом Джини. Однако новая кривая Лоренца всюду лежит не ниже исходной (то бишь ближе к линии абсолютно равномерного распределения), а значит, индекс Джини для новой кривой не может быть больше, чем для исходной, а значит, индекс Робин Гуда для исходной кривой не может быть больше, чем индекс Джини для неё же. Это справедливо для всех кривых Лоренца, а не только той, что дана в условии.

Если сначала доказано в общем случае, а затем указано, что результат верен и для данной функции, – 7 баллов. Если наоборот, то 3 балла за решение для этой функции (в том числе 1 балл – индекс Джини, 1 балл – индекс Робин Гуда, 1 балл – сравнение) и 4 балла за полностью верную цепочку рассуждений для общего случая.

(в) ( 7 баллов) В предыдущем пункте установлено, что могут быть такие общества, где индекс Робин Гуда и индекс Джини не совпадают (а именно индекс Робин Гуда строго меньше индекса Джини), а могут быть такие, где индексы совпадают. Тогда, если в стране A R_A<G_A , а в стране B R_B=G_B , то можно подобрать эти индексы так, что R_A<R_B=G_B<G_A ; отсюда ясно, что по индексу Робин Гуда неравенство доходов слабее в стране A, тогда как по индексу Джини неравенство слабее в стране B.

Необязательно приводить в решении конкретные примеры кривых Лоренца, достаточно обойтись этими выкладками (идея о том, что для общества с любым распределением доходов можно подобрать такое общество с двумя однородными группами населения, что индексы Робин Гуда и Джини будут утверждать обратное).

Можно было привести контрпример. Например, для кривой Лоренца y=2x индекс Робин Гуда равен 0,25, а индекс Джини равен 1/3. В обществе, где есть две группы населения (40\% бедных и 60\% богатых), внутри которых доходы распределены равномерно, при этом у бедных 10\% совокупного дохода, а у богатых 90\%, оба индекса будут равны 0,3. По индексу Робин Гуда неравенство сильнее во втором обществе (0,25<0,3) ; по индексу Джини неравенство сильнее в первом обществе (1/3>0,3).

Вариант контрпримера для тех, кто не изучал интегрирования. Рассмотрим общество с тремя группами населения (бедные – 50\%, средние – 30\%, богатые – 20\% ), внутри которых доходы распределены равномерно, при этом у бедных 20\% совокупного дохода, у средних – 30\%, а у богатых – 50\%. Индекс Робин Гуда будет равен 0,3, а индекс Джини будет равен 0,39. В обществе, где есть две группы населения ( 60\% бедных и 40\% богатых), внутри которых доходы распределены равномерно, при этом у бедных 25\% совокупного дохода, а у богатых 75\%, оба индекса будут равны 0,35. По индексу Робин Гуда неравенство сильнее во втором обществе (0,3<0,35) ; по индексу Джини неравенство сильнее в первом обществе (0,39>0,35).

За полностью верную цепочку рассуждений или полностью обоснованный контрпример – 7 баллов. Если рассуждения в целом верные, но есть пропуски в доказательствах, ставятся неполные баллы в зависимости от размера «пропуска».