а) Решим игру между лидером и последователем с конца. Воспринимая qA как

заданную величину, последователь решает задачу

\pi_B = p q_B - q_B = (2 - q_A - q_B) q_B - q_B = (1 - q_A) q_B - q_B^2 \to \max

Прибыль последователя –– парабола ветвями вниз относительно qB при фиксированном qA, а потому ее максимум лежит в вершине: q_B = \frac{1 - q_A}{2}. Каким бы ни было значение qA, выбранное лидером, данный выбор qB является оптимальной стратегией последователя. Зная это, лидер решает задачу

\pi_A = p q_A - q_A = (2 - q_A - q_B) q_A - q_A = \frac{q_A - q_A^2}{2} \rightarrow \max

Прибыль лидера –– парабола ветвями вниз относительно qA, а потому ее максимум

лежит в вершине: qA = 1/2. Оптимальный выпуск последователя в таком случае будет

равен qB = 1/4.

б) Опять станем решать игру с конца. Раньше, когда последователь не обязывался

ограничивать свой объем производства, его оптимальный выпуск в зависимости от

qA был равен q_B = \frac{1 - q_A}{2}. Однако теперь он ограничен значением C. Стало быть, если

\frac{1 - q_A}{2} \geq C, то выпуск последователя будет равен C. Иными словами

q_B = \begin{cases} C, & C \leq \frac{1 - q_A}{2} \\ \frac{1 - q_A}{2}, & C > \frac{1 - q_A}{2} \end{cases} \Rightarrow q_B = \begin{cases} C, & q_A \leq 1 - 2C \\ \frac{1 - q_A}{2}, & q_A \geq 1 - 2C \end{cases}

Это верно в силу монотонного возрастания параболы ветвями вниз до ее глобального максимума, находящегося в вершине, и ее монотонного убывания сразу после:

условный глобальный максимум параболы в рассматриваемом случае лежит в правом ограничении ее возрастающего участка, коль скоро правое ограничение меньше

значения в вершине параболы. В свою очередь, лидер понимает, как изменилась оптимальная реакция последователя, и учитывает это в своей функции прибыли:

\pi_A = (1 - q_B)q_A - q_A^2 = \begin{cases} (1 - C)q_A - q_A^2, & q_A \leq 1 - 2C \\ \frac{q_A - q_A^2}{2}, & q_A \geq 1 - 2C \end{cases} \to \max

При этом, в своем решении относительно оптимального выбора qA лидер воспринимает C как заданную величину. Рассмотрим теперь несколько случаев.

Первый случай: 1 − 2C \leq 0 или, эквивалентно, C \geq 1/2. В таком случае оптимизационная задача лидера выглядит просто как \pi_A = \frac{q_A - q_A^2}{2} \to \max

Мы уже знаем ее решение из первого пункта: qA = 1/2. В таком случае, что несложно

видеть, qB = 1/4, и мы имеем равновесие без ограничений. Заметим, кстати, что в таком

случае p = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}, \ \pi_A = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \ \text{и} \ \pi_B = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{16} –– это понадобится нам чуть позже.

Второй случай: 1 − 2C \geq 0 или, эквивалентно, C \leq = 1/2. В таком случае функция

прибыли лидера состоит из двух участков, а потому мы разобьем этот сценарий еще

на два подслучая.

Первый подслучай: qA \leq 1 − 2C. Тогда имеем, что задача лидера имеет вид

\pi_A = (1 - C)q_A - q_A^2 \to \max

Это все еще парабола ветвями вниз, ее максимум лежит в вершине, если она доступна: qA = (1-C)/2; или в правом ограничении возрастающего участка, если вершина

оказалась недоступна: qA = 1 − 2C. Значит, если правое ограничение на значение qA

меньше аргумента вершины параболы, мы должны взять в качестве оптимального

значения правое ограничение, иначе –– аргумент вершины:

q_A = \begin{cases} \frac{1 - C}{2}, & 1 - 2C \geq \frac{1 - C}{2} \\ 1 - 2C, & 1 - 2C \leq \frac{1 - C}{2} \end{cases} \implies q_A = \begin{cases} \frac{1 - C}{2}, & C \leq \frac{1}{3} \\ 1 - 2C, & C \geq \frac{1}{3} \end{cases}

Заметим, что если вершина параболы, лежащая в точке qA = (1-C)/2

нам доступна, то она приносит большую прибыль, нежели точка qA = 1 − 2C, соответствующая правому ограничению (если, конечно, они не совпадают) –– этот факт также пригодится нам позднее.

Второй подслучай: qA \geq 1 − 2C. В таком случае лидер решает задачу

\pi_A = \frac{q_A - q_A^2}{2} \to \max

И оптимальным ее решением, симметрично первому подслучаю, является вершина параболы ветвями вниз (если она нам доступна) или левое ограничение на значение qA (если оно больше значения вершины параболы):

q_A = \begin{cases} 1 - 2C, & \frac{1}{2} \leq 1 - 2C \\ \frac{1}{2}, & > 1 - 2C \end{cases} \implies q_A = \begin{cases} 1 - 2C, & C \leq \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2}, & C \geq \frac{1}{4} \end{cases}

Опять же, заметим, что если вершина параболы, лежащая в точке qA = 1/2

нам доступна, то она приносит большую прибыль, нежели точка qA = 1 − 2C, соответствующая левому ограничению (если, конечно, они не совпадают).

Найдем теперь оптимальное значение qA в зависимости от C в обоих подслучаях.

При C \leq 1/4 на первом участке функции прибыли лидера мы получаем оптимальное

значение qA = (1-C)/2, а на втором –– qA = 1 − 2C. Пользуясь упомянутым выше замечанием, заключаем, что точка qA = (1-C)/2

приносит лидеру большую прибыль. При C \leq 1/3 есть два кандидата на оптимальную точку: qA = 1 − 2C с первого участка и qA = 1/2 со второго. Аналогично, из двух данных объем производства qA = 1/2 приносит лидеру большую прибыль. Наконец, если 1/4 < C < 1/3, то два кандидата на оптимальную точку –– qA = (1-C)/2 из первого подслучая и qA = 1/2 из второго. Для того, чтобы понять, какой из этих двух вариантов более оптимален при различных значениях C, нужно сравнить прибыли в этих точках.

При qA =(1-C)/2 мы знаем, что

\pi_A = (1 - C)q_A - q_A^2 = \frac{(1 - C)^2}{4}

А при qA = 1/2 нам известно, что

\pi_A = \frac{q_A - q_A^2}{2} = \frac{1}{8}

Стало быть, мы будем предпочитать первый объем производства второму при

\frac{(1 - C)^2}{4} \geq \frac{1}{8} \implies C \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}

Здесь мы воспользовались тем, что 0 \leq C \leq 1/2 при взятии квадратного корня. Заметим, что \frac{1}{4} \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \leq \frac{1}{3}, а значит мы не вышли за пределы ограничений на C, в рамках которых проводили сравнение. Отсюда, при \frac{1}{4} \leq C \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}

лидер будет производить q_A = \frac{1 - C}{2} единиц пряжи для вязания, а при 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} < C \leq \frac{1}{3} - q_A = \frac{1}{2}

(при C = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} фирма безразлична между двумя объемами производства, а потому выбирает меньший из них). Объединяя теперь все рассмотренные случаи получаем:

q_A = \begin{cases} \frac{1 - C}{2}, & C \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{2}, & C > 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases}

Наконец, переходя к первому этапу взаимодействия, последователь осознает, какое количество продукции будет произведено лидером, а также знает свою реакцию

на последнем этапе:

q_B = \begin{cases} C, & q_A \leq 1 - 2C \\ \frac{1 - q_A}{2}, & q_A > 1 - 2C \end{cases} \Rightarrow q_B = \begin{cases} C, & C \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{4}, & C > 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases}

Учитывая эту информацию, его прибыль в зависимости от значения C записывается как

\pi_B = (1 - q_A)q_B - q_B^2 = \begin{cases} \frac{C - C^2}{2}, & C \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{16}, & C > 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases}

Заметим, что \frac{C - C^2}{2} –– парабола ветвями вниз относительно C с максимумом в вершине: C = \frac{1}{2}. Однако, \frac{1}{2} > 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}, а потому оптимум на первом участке функции прибыли последователя наступает при C = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}. В таком случае

\pi_B = \frac{C - C^2}{2} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{4} > \frac{1}{16}. Стало быть, максимум всей функции прибыли фирмы-последователя достигается при C = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}, которому соответствует q_B = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}. Что касается фирмы лидера, получаем, что q_A = \frac{1 - C}{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}, а получаемая ей прибыль оказывается равна \pi_A = (1 - C)q_A - q_A^2 = \frac{(1 - C)^2}{4} = \frac{1}{8} –– как и было раньше. Резюмируя вышесказанное,

в новом равновесии q_A = \frac{1}{2\sqrt{2}}, q_B = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ и } C = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}. Прибыль последователя, как уже упоминалось выше, выросла с 1/16 до \frac{\sqrt{2}-1}{4} в результате самоограничения.

в) В результате смены формата взаимодействия между агентами, значение qA

уменьшилось с 1/2 до \frac{1}{2 \sqrt{2}}, а значение qB выросло с 1/4 до 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}. Вместе с этим, прибыль лидера не изменилась и оказалась равной 1/8, а прибыль последователя выросла с 1/16 до \frac{\sqrt{2}-1}{4}. Удивительным образом оказалось, что самоограничение последователя привело к Парето-улучшению ситуации для двух конкурентов. Почему же так произошло?

В данной задаче мы смогли пронаблюдать действие того, что в экономической

литературе называется связывающим обязательством (commitment device). Последователь публично заявил (и, самое главное, доказательно сдержал свое обещание) об ограничении объема производимой им продукции, что, при прочих равных, усилило стимулы лидера к производству меньших объемов товара для снижения собственных издержек и увеличения выручки за счет роста цены на продукт (в итоге она выросла с 5/4 до 1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}} ). Понимание данного механизма, подразумевающего, при прочих равных, более высокую рыночную цену и меньший объем продукции, производимый лидером, дало последователю толчок к выбору даже большего потолка продукции, чем его исходный объем производства (1 - \frac{1}{\sqrt{2}} > 1/4 ). Тем самым, в ситуации повышенной цены и пониженного объема производства конкурента последователь оказался в выигрыше в результате самоограничения.

г) Фирма-лидер в таком случае понимает, что ограничение не является сдерживающим для последователя, а потому при заданном qA фирма-последователь произведет qB= \frac{1 - qA}{2} единиц продукции (как вершину своей квадратичной функции прибыли). Из пункта а) мы знаем, что тогда лидер выберет qA = 1/2, а последователь будет

производить qB = 1/4 единиц пряжи для вязания.