О пользе самоограничения

а) Решим игру между лидером и последователем с конца. Воспринимая qA как

заданную величину, последователь решает задачу

Прибыль последователя –– парабола ветвями вниз относительно qB при фиксированном qA, а потому ее максимум лежит в вершине: . Каким бы ни было значение qA, выбранное лидером, данный выбор qB является оптимальной стратегией последователя. Зная это, лидер решает задачу

Прибыль лидера –– парабола ветвями вниз относительно qA, а потому ее максимум

лежит в вершине: qA = 1/2. Оптимальный выпуск последователя в таком случае будет

равен qB = 1/4.

б) Опять станем решать игру с конца. Раньше, когда последователь не обязывался

ограничивать свой объем производства, его оптимальный выпуск в зависимости от

qA был равен . Однако теперь он ограничен значением C. Стало быть, если

, то выпуск последователя будет равен C. Иными словами

			$q_B =  \begin{cases}  C, & C \leq \frac{1 - q_A}{2} \\ \frac{1 - q_A}{2}, & C > \frac{1 - q_A}{2} \end{cases} \Rightarrow q_B =  \begin{cases}  C, & q_A \leq 1 - 2C \\ \frac{1 - q_A}{2}, & q_A \geq 1 - 2C \end{cases}$ 

Это верно в силу монотонного возрастания параболы ветвями вниз до ее глобального максимума, находящегося в вершине, и ее монотонного убывания сразу после:

условный глобальный максимум параболы в рассматриваемом случае лежит в правом ограничении ее возрастающего участка, коль скоро правое ограничение меньше

значения в вершине параболы. В свою очередь, лидер понимает, как изменилась оптимальная реакция последователя, и учитывает это в своей функции прибыли:

При этом, в своем решении относительно оптимального выбора qA лидер воспринимает C как заданную величину. Рассмотрим теперь несколько случаев.

Первый случай: 1 − 2C 0 или, эквивалентно, . В таком случае оптимизационная задача лидера выглядит просто как

Мы уже знаем ее решение из первого пункта: qA = 1/2. В таком случае, что несложно

видеть, qB = 1/4, и мы имеем равновесие без ограничений. Заметим, кстати, что в таком

случае –– это понадобится нам чуть позже.

Второй случай: 1 − 2C 0 или, эквивалентно, = 1/2. В таком случае функция

прибыли лидера состоит из двух участков, а потому мы разобьем этот сценарий еще

на два подслучая.

Первый подслучай: qA 1 − 2C. Тогда имеем, что задача лидера имеет вид

											$\pi_A = (1 - C)q_A - q_A^2 \to \max$ 

Это все еще парабола ветвями вниз, ее максимум лежит в вершине, если она доступна: qA = (1-C)/2; или в правом ограничении возрастающего участка, если вершина

оказалась недоступна: qA = 1 − 2C. Значит, если правое ограничение на значение qA

меньше аргумента вершины параболы, мы должны взять в качестве оптимального

значения правое ограничение, иначе –– аргумент вершины:

		$q_A =  \begin{cases}  \frac{1 - C}{2}, & 1 - 2C \geq \frac{1 - C}{2} \\  1 - 2C, & 1 - 2C \leq \frac{1 - C}{2}  \end{cases} \implies q_A =  \begin{cases}  \frac{1 - C}{2}, & C \leq \frac{1}{3} \\  1 - 2C, & C \geq \frac{1}{3}  \end{cases}$ 

Заметим, что если вершина параболы, лежащая в точке qA = (1-C)/2

нам доступна, то она приносит большую прибыль, нежели точка qA = 1 − 2C, соответствующая правому ограничению (если, конечно, они не совпадают) –– этот факт также пригодится нам позднее.

Второй подслучай: qA 1 − 2C. В таком случае лидер решает задачу

											$\pi_A = \frac{q_A - q_A^2}{2} \to \max$ 

И оптимальным ее решением, симметрично первому подслучаю, является вершина параболы ветвями вниз (если она нам доступна) или левое ограничение на значение qA (если оно больше значения вершины параболы):

			$q_A =  \begin{cases}  1 - 2C, & \frac{1}{2} \leq 1 - 2C \\  \frac{1}{2}, & > 1 - 2C  \end{cases} \implies q_A =  \begin{cases}  1 - 2C, & C \leq \frac{1}{4} \\  \frac{1}{2}, & C \geq \frac{1}{4}  \end{cases}$ 

Опять же, заметим, что если вершина параболы, лежащая в точке qA = 1/2

нам доступна, то она приносит большую прибыль, нежели точка qA = 1 − 2C, соответствующая левому ограничению (если, конечно, они не совпадают).

Найдем теперь оптимальное значение qA в зависимости от C в обоих подслучаях.

При C 1/4 на первом участке функции прибыли лидера мы получаем оптимальное

значение qA = (1-C)/2, а на втором –– qA = 1 − 2C. Пользуясь упомянутым выше замечанием, заключаем, что точка qA = (1-C)/2

приносит лидеру большую прибыль. При C 1/3 есть два кандидата на оптимальную точку: qA = 1 − 2C с первого участка и qA = 1/2 со второго. Аналогично, из двух данных объем производства qA = 1/2 приносит лидеру большую прибыль. Наконец, если 1/4 < C < 1/3, то два кандидата на оптимальную точку –– qA = (1-C)/2 из первого подслучая и qA = 1/2 из второго. Для того, чтобы понять, какой из этих двух вариантов более оптимален при различных значениях C, нужно сравнить прибыли в этих точках.

При qA =(1-C)/2 мы знаем, что

										$\pi_A = (1 - C)q_A - q_A^2 = \frac{(1 - C)^2}{4}$ 

А при qA = 1/2 нам известно, что

													$\pi_A = \frac{q_A - q_A^2}{2} = \frac{1}{8}$ 

Стало быть, мы будем предпочитать первый объем производства второму при

										$\frac{(1 - C)^2}{4} \geq \frac{1}{8} \implies C \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$ 

Здесь мы воспользовались тем, что 0 C 1/2 при взятии квадратного корня. Заметим, что , а значит мы не вышли за пределы ограничений на C, в рамках которых проводили сравнение. Отсюда, при

лидер будет производить единиц пряжи для вязания, а при

(при фирма безразлична между двумя объемами производства, а потому выбирает меньший из них). Объединяя теперь все рассмотренные случаи получаем:

									$q_A = \begin{cases}  \frac{1 - C}{2}, & C \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{2}, & C > 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases}$ 

Наконец, переходя к первому этапу взаимодействия, последователь осознает, какое количество продукции будет произведено лидером, а также знает свою реакцию

на последнем этапе:

						$q_B = \begin{cases} C, & q_A \leq 1 - 2C \\ \frac{1 - q_A}{2}, & q_A > 1 - 2C \end{cases} \Rightarrow q_B = \begin{cases} C, & C \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{4}, & C > 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases}$ 

Учитывая эту информацию, его прибыль в зависимости от значения C записывается как

					$\pi_B = (1 - q_A)q_B - q_B^2 =  \begin{cases}  \frac{C - C^2}{2}, & C \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \\  \frac{1}{16}, & C > 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}  \end{cases}$ 

Заметим, что –– парабола ветвями вниз относительно C с максимумом в вершине: . Однако, , а потому оптимум на первом участке функции прибыли последователя наступает при . В таком случае

. Стало быть, максимум всей функции прибыли фирмы-последователя достигается при , которому соответствует . Что касается фирмы лидера, получаем, что , а получаемая ей прибыль оказывается равна –– как и было раньше. Резюмируя вышесказанное,

в новом равновесии . Прибыль последователя, как уже упоминалось выше, выросла с 1/16 до в результате самоограничения.

в) В результате смены формата взаимодействия между агентами, значение qA

уменьшилось с 1/2 до , а значение qB выросло с 1/4 до . Вместе с этим, прибыль лидера не изменилась и оказалась равной 1/8, а прибыль последователя выросла с 1/16 до . Удивительным образом оказалось, что самоограничение последователя привело к Парето-улучшению ситуации для двух конкурентов. Почему же так произошло?

В данной задаче мы смогли пронаблюдать действие того, что в экономической

литературе называется связывающим обязательством (commitment device). Последователь публично заявил (и, самое главное, доказательно сдержал свое обещание) об ограничении объема производимой им продукции, что, при прочих равных, усилило стимулы лидера к производству меньших объемов товара для снижения собственных издержек и увеличения выручки за счет роста цены на продукт (в итоге она выросла с 5/4 до ). Понимание данного механизма, подразумевающего, при прочих равных, более высокую рыночную цену и меньший объем продукции, производимый лидером, дало последователю толчок к выбору даже большего потолка продукции, чем его исходный объем производства ( ). Тем самым, в ситуации повышенной цены и пониженного объема производства конкурента последователь оказался в выигрыше в результате самоограничения.

г) Фирма-лидер в таком случае понимает, что ограничение не является сдерживающим для последователя, а потому при заданном qA фирма-последователь произведет qB= единиц продукции (как вершину своей квадратичной функции прибыли). Из пункта а) мы знаем, что тогда лидер выберет qA = 1/2, а последователь будет

производить qB = 1/4 единиц пряжи для вязания.