О пользе самоограничения
На рынке пряжи для вязания конкурируют две обладающие всей полнотой информации фирмы: лидер «Анна» и последователь «Белла». Взаимодействие между фирмами устроено следующим образом:
1) лидер выбирает объем производимой им продукции qA;
2) наблюдая значение qA, последователь выбирает объем производимой им продукции qB;
3) на рынке устанавливается цена по правилу p = 2 − qA − qB, фирмы продают произведенную продукцию и получают соответствующую прибыль, после этого ничего не происходит. Общие издержки каждой фирмы на производство q единиц пряжи равны q. При безразличии между несколькими объемами производимой продукции любая фирма выбирает наименьший из них.
а) (2 балла) Найдите объемы qA и qB, которые выберут фирмы.
б) (8 баллов) Предположим, что до начала взаимодействия последователь может ограничить свои производственные мощности. А именно, фирма «Белла» может необратимо закрыть заводы или повредить станки так, что физически не сможет производить больше C единиц продукции. С учетом этой возможности взаимодействие агентов меняется следующим образом:
1) последователь выбирает C \geq 0 –– свой максимально возможный объем производства;
2) лидер, наблюдая C, выбирает объем производимой им продукции qA;
3) последователь, наблюдая qA, выбирает объем производимой им продукции qB, так что qB не превосходит C;
4) на рынке устанавливается цена p = 2 − qA − qB, фирмы получают прибыль, взаимодействие заканчивается. Определите, какие значения C, qA и qB будут выбраны. Найдите прибыль последователя и сравните ее с его прибылью в пункте а).
в) (1 балл) Если вы решили пункт б) верно, у вас получилось, что прибыль последователя выросла по сравнению с пунктом а). Опишите на качественном уровне механизм того, почему прибыль последователя выросла в результате его самоограничения.
г) (1 балл) Пусть C* –– значение C, найденное вами в пункте б). Какие объемы будут выбраны, если вместо того, чтобы реально ограничивать свои производственные мощности, фирма «Белла» на первом шаге лишь сообщит «Анне», что не собирается производить больше C* единиц продукции?
а) Решим игру между лидером и последователем с конца. Воспринимая qA как
заданную величину, последователь решает задачу
\pi_B = p q_B - q_B = (2 - q_A - q_B) q_B - q_B = (1 - q_A) q_B - q_B^2 \to \max
Прибыль последователя –– парабола ветвями вниз относительно qB при фиксированном qA, а потому ее максимум лежит в вершине: q_B = \frac{1 - q_A}{2}. Каким бы ни было значение qA, выбранное лидером, данный выбор qB является оптимальной стратегией последователя. Зная это, лидер решает задачу
\pi_A = p q_A - q_A = (2 - q_A - q_B) q_A - q_A = \frac{q_A - q_A^2}{2} \rightarrow \max
Прибыль лидера –– парабола ветвями вниз относительно qA, а потому ее максимум
лежит в вершине: qA = 1/2. Оптимальный выпуск последователя в таком случае будет
равен qB = 1/4.
б) Опять станем решать игру с конца. Раньше, когда последователь не обязывался
ограничивать свой объем производства, его оптимальный выпуск в зависимости от
qA был равен q_B = \frac{1 - q_A}{2}. Однако теперь он ограничен значением C. Стало быть, если
\frac{1 - q_A}{2} \geq C, то выпуск последователя будет равен C. Иными словами
q_B = \begin{cases} C, & C \leq \frac{1 - q_A}{2} \\ \frac{1 - q_A}{2}, & C > \frac{1 - q_A}{2} \end{cases} \Rightarrow q_B = \begin{cases} C, & q_A \leq 1 - 2C \\ \frac{1 - q_A}{2}, & q_A \geq 1 - 2C \end{cases}
Это верно в силу монотонного возрастания параболы ветвями вниз до ее глобального максимума, находящегося в вершине, и ее монотонного убывания сразу после:
условный глобальный максимум параболы в рассматриваемом случае лежит в правом ограничении ее возрастающего участка, коль скоро правое ограничение меньше
значения в вершине параболы. В свою очередь, лидер понимает, как изменилась оптимальная реакция последователя, и учитывает это в своей функции прибыли:
\pi_A = (1 - q_B)q_A - q_A^2 = \begin{cases} (1 - C)q_A - q_A^2, & q_A \leq 1 - 2C \\ \frac{q_A - q_A^2}{2}, & q_A \geq 1 - 2C \end{cases} \to \max
При этом, в своем решении относительно оптимального выбора qA лидер воспринимает C как заданную величину. Рассмотрим теперь несколько случаев.
Первый случай: 1 − 2C \leq 0 или, эквивалентно, C \geq 1/2. В таком случае оптимизационная задача лидера выглядит просто как \pi_A = \frac{q_A - q_A^2}{2} \to \max
Мы уже знаем ее решение из первого пункта: qA = 1/2. В таком случае, что несложно
видеть, qB = 1/4, и мы имеем равновесие без ограничений. Заметим, кстати, что в таком
случае p = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}, \ \pi_A = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \ \text{и} \ \pi_B = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{16} –– это понадобится нам чуть позже.
Второй случай: 1 − 2C \geq 0 или, эквивалентно, C \leq = 1/2. В таком случае функция
прибыли лидера состоит из двух участков, а потому мы разобьем этот сценарий еще
на два подслучая.
Первый подслучай: qA \leq 1 − 2C. Тогда имеем, что задача лидера имеет вид
\pi_A = (1 - C)q_A - q_A^2 \to \max
Это все еще парабола ветвями вниз, ее максимум лежит в вершине, если она доступна: qA = (1-C)/2; или в правом ограничении возрастающего участка, если вершина
оказалась недоступна: qA = 1 − 2C. Значит, если правое ограничение на значение qA
меньше аргумента вершины параболы, мы должны взять в качестве оптимального
значения правое ограничение, иначе –– аргумент вершины:
q_A = \begin{cases} \frac{1 - C}{2}, & 1 - 2C \geq \frac{1 - C}{2} \\ 1 - 2C, & 1 - 2C \leq \frac{1 - C}{2} \end{cases} \implies q_A = \begin{cases} \frac{1 - C}{2}, & C \leq \frac{1}{3} \\ 1 - 2C, & C \geq \frac{1}{3} \end{cases}
Заметим, что если вершина параболы, лежащая в точке qA = (1-C)/2
нам доступна, то она приносит большую прибыль, нежели точка qA = 1 − 2C, соответствующая правому ограничению (если, конечно, они не совпадают) –– этот факт также пригодится нам позднее.
Второй подслучай: qA \geq 1 − 2C. В таком случае лидер решает задачу
\pi_A = \frac{q_A - q_A^2}{2} \to \max
И оптимальным ее решением, симметрично первому подслучаю, является вершина параболы ветвями вниз (если она нам доступна) или левое ограничение на значение qA (если оно больше значения вершины параболы):
q_A = \begin{cases} 1 - 2C, & \frac{1}{2} \leq 1 - 2C \\ \frac{1}{2}, & > 1 - 2C \end{cases} \implies q_A = \begin{cases} 1 - 2C, & C \leq \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2}, & C \geq \frac{1}{4} \end{cases}
Опять же, заметим, что если вершина параболы, лежащая в точке qA = 1/2
нам доступна, то она приносит большую прибыль, нежели точка qA = 1 − 2C, соответствующая левому ограничению (если, конечно, они не совпадают).
Найдем теперь оптимальное значение qA в зависимости от C в обоих подслучаях.
При C \leq 1/4 на первом участке функции прибыли лидера мы получаем оптимальное
значение qA = (1-C)/2, а на втором –– qA = 1 − 2C. Пользуясь упомянутым выше замечанием, заключаем, что точка qA = (1-C)/2
приносит лидеру большую прибыль. При C \leq 1/3 есть два кандидата на оптимальную точку: qA = 1 − 2C с первого участка и qA = 1/2 со второго. Аналогично, из двух данных объем производства qA = 1/2 приносит лидеру большую прибыль. Наконец, если 1/4 < C < 1/3, то два кандидата на оптимальную точку –– qA = (1-C)/2 из первого подслучая и qA = 1/2 из второго. Для того, чтобы понять, какой из этих двух вариантов более оптимален при различных значениях C, нужно сравнить прибыли в этих точках.
При qA =(1-C)/2 мы знаем, что
\pi_A = (1 - C)q_A - q_A^2 = \frac{(1 - C)^2}{4}
А при qA = 1/2 нам известно, что
\pi_A = \frac{q_A - q_A^2}{2} = \frac{1}{8}
Стало быть, мы будем предпочитать первый объем производства второму при
\frac{(1 - C)^2}{4} \geq \frac{1}{8} \implies C \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}
Здесь мы воспользовались тем, что 0 \leq C \leq 1/2 при взятии квадратного корня. Заметим, что \frac{1}{4} \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \leq \frac{1}{3}, а значит мы не вышли за пределы ограничений на C, в рамках которых проводили сравнение. Отсюда, при \frac{1}{4} \leq C \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}
лидер будет производить q_A = \frac{1 - C}{2} единиц пряжи для вязания, а при 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} < C \leq \frac{1}{3} - q_A = \frac{1}{2}
(при C = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} фирма безразлична между двумя объемами производства, а потому выбирает меньший из них). Объединяя теперь все рассмотренные случаи получаем:
q_A = \begin{cases} \frac{1 - C}{2}, & C \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{2}, & C > 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases}
Наконец, переходя к первому этапу взаимодействия, последователь осознает, какое количество продукции будет произведено лидером, а также знает свою реакцию
на последнем этапе:
q_B = \begin{cases} C, & q_A \leq 1 - 2C \\ \frac{1 - q_A}{2}, & q_A > 1 - 2C \end{cases} \Rightarrow q_B = \begin{cases} C, & C \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{4}, & C > 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases}
Учитывая эту информацию, его прибыль в зависимости от значения C записывается как
\pi_B = (1 - q_A)q_B - q_B^2 = \begin{cases} \frac{C - C^2}{2}, & C \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{16}, & C > 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases}
Заметим, что \frac{C - C^2}{2} –– парабола ветвями вниз относительно C с максимумом в вершине: C = \frac{1}{2}. Однако, \frac{1}{2} > 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}, а потому оптимум на первом участке функции прибыли последователя наступает при C = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}. В таком случае
\pi_B = \frac{C - C^2}{2} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{4} > \frac{1}{16}. Стало быть, максимум всей функции прибыли фирмы-последователя достигается при C = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}, которому соответствует q_B = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}. Что касается фирмы лидера, получаем, что q_A = \frac{1 - C}{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}, а получаемая ей прибыль оказывается равна \pi_A = (1 - C)q_A - q_A^2 = \frac{(1 - C)^2}{4} = \frac{1}{8} –– как и было раньше. Резюмируя вышесказанное,
в новом равновесии q_A = \frac{1}{2\sqrt{2}}, q_B = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ и } C = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}. Прибыль последователя, как уже упоминалось выше, выросла с 1/16 до \frac{\sqrt{2}-1}{4} в результате самоограничения.
в) В результате смены формата взаимодействия между агентами, значение qA
уменьшилось с 1/2 до \frac{1}{2 \sqrt{2}}, а значение qB выросло с 1/4 до 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}. Вместе с этим, прибыль лидера не изменилась и оказалась равной 1/8, а прибыль последователя выросла с 1/16 до \frac{\sqrt{2}-1}{4}. Удивительным образом оказалось, что самоограничение последователя привело к Парето-улучшению ситуации для двух конкурентов. Почему же так произошло?
В данной задаче мы смогли пронаблюдать действие того, что в экономической
литературе называется связывающим обязательством (commitment device). Последователь публично заявил (и, самое главное, доказательно сдержал свое обещание) об ограничении объема производимой им продукции, что, при прочих равных, усилило стимулы лидера к производству меньших объемов товара для снижения собственных издержек и увеличения выручки за счет роста цены на продукт (в итоге она выросла с 5/4 до 1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}} ). Понимание данного механизма, подразумевающего, при прочих равных, более высокую рыночную цену и меньший объем продукции, производимый лидером, дало последователю толчок к выбору даже большего потолка продукции, чем его исходный объем производства (1 - \frac{1}{\sqrt{2}} > 1/4 ). Тем самым, в ситуации повышенной цены и пониженного объема производства конкурента последователь оказался в выигрыше в результате самоограничения.
г) Фирма-лидер в таком случае понимает, что ограничение не является сдерживающим для последователя, а потому при заданном qA фирма-последователь произведет qB= \frac{1 - qA}{2} единиц продукции (как вершину своей квадратичной функции прибыли). Из пункта а) мы знаем, что тогда лидер выберет qA = 1/2, а последователь будет
производить qB = 1/4 единиц пряжи для вязания.