Садовое неравенство
Рассмотрим садовое товарищество, организованное в виде кольцевых дорожек, вблизи которых расположены дома (см. рисунок).
На i*-ой* дорожке (считая от центра) живут идентичных дачников. Суммарный доход, получаемый жителями -го кольца, равен млн руб., где - количество (не менее двух) дорожек в садовом товариществе.
а) Может ли коэффициент Джини, отражающих неравенство в распределении доходов между дачниками, быть равен ?
б) Может ли коэффициент Джини быть равным ?
в) Определите верхнюю границу коэффициента Джини.
а) Важно заметить, что чем дальше рассматриваемая группа дачников (дорожка) живет от центра, тем она беднее. А значит коэффициент Джини минимален тогда, когда минимально количество дорожек в этом товариществе. Если (минимальное допустимое количество), то на первом кольце живет всего один дачник и владеет млн. рублей. На втором кольце живут два дачника, владеющие суммарно млн. руб. Из полученных данных находим коэффициент Джини для двух групп по общеизвестной формуле:
$G = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ j
Полученный коэффициент Джини минимален, а значит меньшего значения не могло получится.
б) Рассмотрим случай , тогда коэффициент Джини окажется равным .
в) Найдем зависимость коэффициента Джини от количества дорожек в саду. Так как в условии ведется расчет доходов и населения от центра, то есть от богатых к бедным, необходимо заменить на , где – номер дорожки с края сада.
Таким образом мы будем считать "от бедных к богатым". Тогда суммарный доход, получаемый жителями -го кольца равен , а численность населения -го кольца равна . Найдем суммарный доход всех жителей сада и общую численность населения:
– суммарный доход
– численность населения
Откуда
– доля -ой дорожки в совокупном доходе сада,
– доля -ой дорожки в общем населении сада.
Найдем кумулятивную долю доходов и кольца:
Заметим, что площадь -ой фигуры под кривой Лоренца будет определяться по формуле (площадь трапеции, причем первая трапеция с нулевым основанием):
Откуда площадь под кривой Лоренца:
$S_{\text{sum}} = \sum_{k=1}^{n} S_k = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2} x_k \left( y_{k-1}^{\text{cum}} + y_k^{\text{cum}} \right)\right) =$
$= \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2(n + 1 - k)}{n(n + 1)} \cdot \left( \frac{k(k + 1)}{n(n + 1)} + \frac{k(k - 1)}{n(n + 1)} \right) \right) = \frac{n + 2}{6n}$
Тогда коэффициент Джини равен:
Определим верхнюю границу коэффициента Джини, посчитав предел:
Ответ:
а) нет
б) да
в) .