Садовое неравенство
Рассмотрим садовое товарищество, организованное в виде кольцевых дорожек, вблизи которых расположены дома (см. рисунок).
На i-ой дорожке (считая от центра) живут i идентичных дачников. Суммарный доход, получаемый жителями i -го кольца, равен n+1-i млн руб., где n - количество (не менее двух) дорожек в садовом товариществе.
а) Может ли коэффициент Джини, отражающих неравенство в распределении доходов между дачниками, быть равен 1/4 ?
б) Может ли коэффициент Джини быть равным 4/9 ?
в) Определите верхнюю границу коэффициента Джини.
а) Важно заметить, что чем дальше рассматриваемая группа дачников (дорожка) живет от центра, тем она беднее. А значит коэффициент Джини минимален тогда, когда минимально количество дорожек в этом товариществе. Если n=2 (минимальное допустимое количество), то на первом кольце живет всего один дачник и владеет 2 млн. рублей. На втором кольце живут два дачника, владеющие суммарно 1 млн. руб. Из полученных данных находим коэффициент Джини для двух групп по общеизвестной формуле:
G = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} j
Полученный коэффициент Джини минимален, а значит меньшего значения не могло получится.
б) Рассмотрим случай n=3, тогда коэффициент Джини окажется равным 4/9.
в) Найдем зависимость коэффициента Джини G от количества дорожек в саду. Так как в условии ведется расчет доходов и населения от центра, то есть от богатых к бедным, необходимо заменить i на (n+1-j), где j – номер дорожки с края сада.
Таким образом мы будем считать "от бедных к богатым". Тогда суммарный доход, получаемый жителями j -го кольца равен j, а численность населения j -го кольца равна n+1-j. Найдем суммарный доход всех жителей сада и общую численность населения:
\sum_{j=1}^{n} j = \frac{n(n+1)}{2} – суммарный доход
\sum_{j=1}^{n} (n + 1 - j) = \frac{n(n+1)}{2} – численность населения
Откуда
\frac{2j}{n(n+1)} – доля j -ой дорожки в совокупном доходе сада,
\frac{2(n + 1 - j)}{n(n + 1)} – доля j -ой дорожки в общем населении сада.
Найдем кумулятивную долю доходов k и k-1 кольца:
y_k^{\text{cum}} = \sum_{j=1}^{k} \frac{2j}{n(n+1)} = \frac{k(k+1)}{n(n+1)}
y_{k-1}^{\text{cum}} = \sum_{j=1}^{k-1} \frac{2j}{n(n+1)} = \frac{k(k-1)}{n(n+1)}
Заметим, что площадь k -ой фигуры под кривой Лоренца будет определяться по формуле (площадь трапеции, причем первая трапеция с нулевым основанием):
S_j = \frac{1}{2} \cdot x_k \cdot \left( y_{k-1}^{\text{cum}} + y_k^{\text{cum}} \right)
Откуда площадь S_{sum} под кривой Лоренца:
S_{\text{sum}} = \sum_{k=1}^{n} S_k = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2} x_k \left( y_{k-1}^{\text{cum}} + y_k^{\text{cum}} \right)\right) =
= \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2(n + 1 - k)}{n(n + 1)} \cdot \left( \frac{k(k + 1)}{n(n + 1)} + \frac{k(k - 1)}{n(n + 1)} \right) \right) = \frac{n + 2}{6n}
Тогда коэффициент Джини равен:
G = \frac{0.5 - S_{\text{sum}}}{0.5} = 1 - 2S_{\text{sum}} = \frac{2n - 2}{3n}.
Определим верхнюю границу коэффициента Джини, посчитав предел:
\lim_{n \to \infty} \frac{2n - 2}{3n} = \frac{2}{3}.
Ответ:
а) нет
б) да
в) 2/3.