Налоги на сверхприбыль
1 января 2024 года в России был установлен налог на сверхприбыль, подразумевающий уплату компаниями части прибыли сверх определенного порога в пользу государства. В данной задаче вам предлагается проанализировать влияние разных версий такого налога на объем выпуска фирмы. В городе N, далеком от Татарстана, всего одна фирма производит сладкое лакомство чак-чак. Функция спроса на чак-чак в городе имеет вид , где P –– цена на чак-чак, –– объем его потребления. Общие издержки производства единиц продукции составляют . Во всех пунктах фирма максимизирует прибыль (за вычетом налога, если он есть). Если фирма безразлична между несколькими объемами выпуска, она выбирает минимальный из них. Определите объем выпуска, который выберет фирма, в следующих независимых друг от друга случаях:
а) (2 балла) В отсутствие налогообложения.
б) (3 балла) Введен налог на сверхприбыль. А именно, если до уплаты налога фирма имеет прибыль не более, чем 300, налог не взимается; в противном случае фирма должна заплатить в бюджет 30 % от сверхприбыли, то есть от величины ( ).
в) (3 балла) Введен налог на прибыль при высокой прибыли. А именно, если до уплаты налога фирма имеет прибыль не более, чем 300, налог не взимается; в противном случае фирма должна заплатить в бюджет 30 % от всей прибыли .
г) (4 балла) Введен налог при высокой маржинальности (доле прибыли в выручке). А именно, если до уплаты налога прибыль составляет не более половины выручки, , налог не взимается; в противном случае фирма должна заплатить в бюджет такую сумму , что c учетом этой выплаты доля прибыли в выручке снижается до 0,5, то есть такую сумму , что .
а) Фирма выбирает , чтобы максимизировать прибыль . Оптимум находится в вершине параболы, . Ответ: .
б) Составим функцию прибыли с учетом налога. Найдем, при каких объемах выпуска прибыль до налога больше 300. Запишем неравенство
$Q(40 − Q) > 300.$
Корни соответствующего уравнения легко угадать, это и . Поскольку слева стоит парабола с ветвями вниз, неравенство выполнено между корнями уравнения, то есть при . При этих фирма будет платить налог, ее итоговая прибыль составит . При других фирма не будет платить налог. Значит, с учетом налога функция прибыли примет вид
$\pi(Q) = \begin{cases} Q(40 - Q), & Q \leq 10; \\ 0.7Q(40 - Q) + 90, & 10 < Q < 30; \\ Q(40 - Q), & Q \geq 30. \end{cases}$
Поскольку функция прибыли непрерывна, возрастает при и убывает при , ее максимум находится на отрезке . Как видим, на этом отрезке функция имеет ту же точку максимума, что и исходная функция прибыли , это .
Ответ: .
Примечание: Есть и другие решения этого пункта. Например, заметим, что прибыль после уплаты налога и прибыль до уплаты налога связаны соотношением , где
$f(\pi) = \begin{cases} \pi, & \pi \leq 300; \\ 300 + 0.7(\pi - 300), & \pi > 300. \end{cases}$
Поскольку –– возрастающая функция, точки максимума и совпадают. Значит, .
в) В этом случае при и функция прибыли не меняется, аналогично пункту б). При , прибыль фирмы после уплаты налога будет иметь вид просто . Значит,
$\pi(Q) = \begin{cases} Q(40 - Q), & Q \leq 10; \\ 0.7Q(40 - Q) + 90, & 10 < Q < 30; \\ Q(40 - Q), & Q \geq 30. \end{cases}$
Эта функция разрывна, «прыгает» вниз при Q = 10 и вверх при Q = 30. Поскольку функция возрастает при и убывает при , ее максимум достигается либо при Q = 10, либо при Q = 30, либо в точке максимума на среднем интервале, это Q = 20. Сравним значения в этих точках: (это мы знаем по построению), . Значит, максимум достигается при Q = 10 и Q = 30. По условию, фирма выберет минимальный выпуск, то есть Q* = 10.
Ответ: Q* = 10.
г) Найдем, при каких Q доля прибыли в выручке больше, а при каких –– меньше 50 %. Например, решим неравенство
$\frac{\pi(Q)}{TR(Q)} = \frac{(40 - Q)Q}{(50 - Q)Q} > 0.5.$
Преобразовав, получаем 40 − Q > 0,5(50 − Q), откуда 15 > 0,5Q, Q < 30. Значит, при фирма не будет платить налог, и получит прибыль, как раньше, (40 − Q)Q. При Q < 30 ее прибыль равна Q(40 − Q) − T, но по построению сумма налога T ровно такая, что
$\frac{Q(40 - Q) - T}{Q(50 - Q)} = 0.5$
, так что Q(40− Q)− Q = 0,5Q(50− Q), итоговая прибыль будет равна половине выручки. Значит, в итоге
$\pi(Q) = \begin{cases} 0.5Q(50 - Q), & Q < 30; \\ Q(40 - Q), & Q \geq 30. \end{cases}$
Эта функция непрерывна, и, как мы знаем из анализа выше, убывает при Q 30. Значит, ее максимум достигается при 30. Вершиной параболы 0,5Q(50 − Q) является точка Q = 25 (это не что иное как точка максимума выручки), она принадлежит отрезку [0; 30]. Значит, она и будет итоговой точкой максимума.
Ответ: Q* = 25.
Примечание: В пункте г) мы получили, что при введении налога выпуск растет (25 > 20), что необычно. Объяснение состоит в том, что сумма налога как функция от выпуска, T (Q), не является возрастающей функцией от Q, как в стандартных случаях, –– и поэтому налог отнюдь не стимулирует сокращать выпуск.