а) Фирма выбирает Q, чтобы максимизировать прибыль \pi (Q) = (50 − Q)Q − 10Q = 40Q − Q^2. Оптимум находится в вершине параболы, Q*=20. Ответ: Q*=20.

б) Составим функцию прибыли с учетом налога. Найдем, при каких объемах выпуска прибыль до налога больше 300. Запишем неравенство

Q(40 − Q) > 300.

Корни соответствующего уравнения легко угадать, это Q = 10 и Q = 30. Поскольку слева стоит парабола с ветвями вниз, неравенство выполнено между корнями уравнения, то есть при Q \in (10; 30). При этих Q фирма будет платить налог, ее итоговая прибыль составит Q(40 − Q) − 0,3(Q(40 − Q) − 300) = 0,7Q(40 − Q) + 90. При других Q фирма не будет платить налог. Значит, с учетом налога функция прибыли примет вид

\pi(Q) = \begin{cases} Q(40 - Q), & Q \leq 10; \\ 0.7Q(40 - Q) + 90, & 10 < Q < 30; \\ Q(40 - Q), & Q \geq 30. \end{cases}

Поскольку функция прибыли непрерывна, возрастает при Q \leq 10 и убывает при Q \geq 30, ее максимум находится на отрезке [10; 30]. Как видим, на этом отрезке функция имеет ту же точку максимума, что и исходная функция прибыли Q(40-Q), это Q*=20.

Ответ: Q*=20.

Примечание: Есть и другие решения этого пункта. Например, заметим, что прибыль после уплаты налога \pi и прибыль до уплаты налога \pi_1 связаны соотношением \pi_1=f(\pi), где

f(\pi) = \begin{cases} \pi, & \pi \leq 300; \\ 300 + 0.7(\pi - 300), & \pi > 300. \end{cases}

Поскольку f(\pi) –– возрастающая функция, точки максимума \pi(Q) и f(\pi(Q)) совпадают. Значит, Q*=20.

в) В этом случае при Q \leq 10 и Q \geq 30 функция прибыли не меняется, аналогично пункту б). При Q \in (10; 30), прибыль фирмы после уплаты налога будет иметь вид просто 0,7Q(40 − Q). Значит,

\pi(Q) = \begin{cases} Q(40 - Q), & Q \leq 10; \\ 0.7Q(40 - Q) + 90, & 10 < Q < 30; \\ Q(40 - Q), & Q \geq 30. \end{cases}

Эта функция разрывна, «прыгает» вниз при Q = 10 и вверх при Q = 30. Поскольку функция возрастает при Q \leq 10 и убывает при Q \geq 30, ее максимум достигается либо при Q = 10, либо при Q = 30, либо в точке максимума на среднем интервале, это Q = 20. Сравним значения в этих точках: \pi (10) = \pi (30) = 300 (это мы знаем по построению), \pi (20) = 0,7 \cdot 400 = 280 < 300. Значит, максимум достигается при Q = 10 и Q = 30. По условию, фирма выберет минимальный выпуск, то есть Q* = 10.

Ответ: Q* = 10.

г) Найдем, при каких Q доля прибыли в выручке больше, а при каких –– меньше 50 %. Например, решим неравенство

\frac{\pi(Q)}{TR(Q)} = \frac{(40 - Q)Q}{(50 - Q)Q} > 0.5.

Преобразовав, получаем 40 − Q > 0,5(50 − Q), откуда 15 > 0,5Q, Q < 30. Значит, при Q \geq 30 фирма не будет платить налог, и получит прибыль, как раньше, (40 − Q)Q. При Q < 30 ее прибыль равна Q(40 − Q) − T, но по построению сумма налога T ровно такая, что

\frac{Q(40 - Q) - T}{Q(50 - Q)} = 0.5

, так что Q(40− Q)− Q = 0,5Q(50− Q), итоговая прибыль будет равна половине выручки. Значит, в итоге

\pi(Q) = \begin{cases} 0.5Q(50 - Q), & Q < 30; \\ Q(40 - Q), & Q \geq 30. \end{cases}

Эта функция непрерывна, и, как мы знаем из анализа выше, убывает при Q \geq 30. Значит, ее максимум достигается при Q \leq 30. Вершиной параболы 0,5Q(50 − Q) является точка Q = 25 (это не что иное как точка максимума выручки), она принадлежит отрезку [0; 30]. Значит, она и будет итоговой точкой максимума.

Ответ: Q* = 25.

Примечание: В пункте г) мы получили, что при введении налога выпуск растет (25 > 20), что необычно. Объяснение состоит в том, что сумма налога как функция от выпуска, T (Q), не является возрастающей функцией от Q, как в стандартных случаях, –– и поэтому налог отнюдь не стимулирует сокращать выпуск.