РЭ 2017 9-11 задача 18
Функция прибыли фирмы на рынке совершенной конкуренции имеет вид \pi(Q) = -6Q + 4Q^2 - Q^3, где \pi — прибыль, Q > 0 — объем выпуска. Фирма не может произвести больше 10 единиц продукции. При каком объеме выпуска прибыль максимальна?
Ответ: 0.
Комментарий:
- Решение 1 (не требует знания производной): Пусть Q > 0 . Тогда средняя прибыль равна \frac{\pi(Q)}{Q} = -6 + 4Q - Q^2 . Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен (равен -8), и поэтому средняя прибыль \frac{\pi(Q)}{Q} отрицательна при любом Q > 0 . Значит, и общая прибыль \pi(Q) отрицательна при любом Q > 0. При этом при Q = 0 она равна нулю. Значит, оптимальный выпуск Q = 0 .
- Решение 2: Рассчитаем производную функции прибыли \pi' = -6 + 8Q - 3Q^2 . Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, так что и сама производная прибыли меняет только отрицательные значения (то есть P < MC ). Можно сделать вывод, что функция прибыли всегда убывает. Значит, оптимальный выпуск Q = 0 .