Работник недели
В отделе маркетинга некой компании работают два сотрудника — Юля и Ваня. Каждый из них может придумывать креативную или стандартную рекламу. Один сотрудник не может придумать две рекламы. Создание стандартной рекламы не влечет за собой издержек, в то время как для креативной рекламы необходимо больше усилий. Денежный эквивалент издержек на создание креативной рекламы для Юли равен 20 тысяч рублей, а для Вани (ему сложнее дается нестандартное мышление) — 30 тысяч рублей.
Стандартная реклама всегда приносит компании 20 тысяч рублей, в то время как охват креативной рекламы менее предсказуемый и поэтому креативная реклама с вероятностью 0,7 приносит 60 тысяч рублей, однако с оставшейся вероятностью 0,3 реклама может провалиться и принести лишь 10 тысяч рублей. Вероятности независимы друг от друга, то есть, например, вероятность того, что обе рекламы не провалятся (при создании креативной рекламы Ваней и Юлей) равна 0,7*0,7=0,49, вероятность того, что реклама Юли провалится, а реклама Вани — нет, будет равна 0,3*0,7=0,21. Аналогично, вероятность того, что реклама Вани провалится, а реклама Юли — нет, будет равна0,7*0,3=0,21, а вероятность того, что обе рекламы провалятся, будет равна 0,3*0,3=0,09.
Фирма предлагает премию работнику недели — сотруднику, который принес компании больше всего денег. Размер премии составляет P тысяч рублей, а второй работник получает L тысяч рублей. Если оба работника приносят фирме одинаковую сумму, то премиальный фонд распределяется поровну, то есть каждый сотрудник получает (P+L)/2.
Юля и Ваня максимизируют математическое ожидание своей премии^1 минус издержки на создание рекламы. При решении задачи предполагается, что если сотруднику безразлично, создавать креативную рекламу или обычную, он(а) выберет креативную.
а) Пусть P=50, \ L=0. Какую рекламу (креативную или стандартную) решат создавать Ваня и Юля? Стратегии Вани и Юли должны образовывать равновесие Нэша — ситуацию, при которой Ване не выгодно изменить свой выбор, если Юля не изменит свой, а Юле не выгодно изменить свой выбор, если Ваня не изменит свой.
\\^1 Если доход равен P с вероятностью p_1, \ L с вероятностью p_2 и (P+L)/2 с вероятностью (1-p_1-p_2), то математическое ожидание дохода (ожидаемый доход) составит p_1 \cdot P + p_2 \cdot L + (1 - p_1 - p_2) \cdot \frac{P + L}{2}.
Решение пункта (а) — это частный случай пункта (б). Поэтому мы сперва решим пункт (б), а затем вернёмся к пункту (а). Участники Конкурса могли сперва решить пункт (а). Все расчёты мы будем производить в тысячах рублей.
P=50, \ L=0 относится к случаю P\leq L+100. При таком значении параметров и Юля, и Ваня будут делать стандартную рекламу.
б) Пусть теперь P и L могут быть любыми, такими, что P\geq 0; 0\leq L<P. Какую рекламу (креативную или стандартную) решат создавать Ваня и Юля в равновесии Нэша? Ваш ответ может зависеть от P и L.
Необходимо рассмотреть 4 ситуации в зависимости от того, какой вид рекламы делают Юля и Ваня.
Случай I. И Юля, и Ваня делают стандартную рекламу. Тогда они оба приносят компании 20 тыс. руб. и делят фонд зарплаты пополам; каждый получает 0,5P+0,5L и не несет никаких издержек.
Случай II. Юля делает креативную рекламу, а Ваня — стандартную. Тогда с вероятностью 0,7 реклама Юли будет успешна. В этом случае она получит P, а Ваня L. С вероятностью 0,3 реклама Юли провалится. Тогда Юля получит L, а Ваня P. Значит, ожидаемый выигрыш Юли с учетом издержек составляет 0,7P+0,3L-20, а ожидаемый выигрыш Вани — 0,3P+0,7L.
Случай III. Ваня делает креативную рекламу, Юля — стандартную. Этот случай аналогичен предыдущему. Единственное отличие заключается в том, что издержки для Вани будут составлять 30 тысяч рублей, а не 20. Значит, выигрыш составит 0,3P+0,7L для Юли и 0,7P+0,3L-30 для Вани.
Случай IV. Оба делают креативную рекламу. Возможны 4 исхода: реклама и Вани, и Юли успешна (с вероятностью 0,7*0,7=0,49 ); успешна реклама только Вани (с вероятностью 0,7*0,3=0,21 ); успешна реклама только Юли (0,21 ); реклама обоих провальная (0,09 ). В первом и последнем исходе Юля и Ваня делят фонд пополам, а в остальных премию получает тот, чья реклама не провалилась. Записав выигрыши, можно увидеть, что ожидаемый выигрыш составляет 0,5P+0,5L-20 для Юли и 0,5P+0,5L-30 для Вани.
Теперь найдём, каким будет равновесие в зависимости от P и L. Сначала найдём, когда равновесной будет ситуация, при которой и Ваня, и Юля делают креативную рекламу. В этом случае должна выполняться система:
\begin{cases} 0.5P + 0.5L - 20 \geq 0.7L + 0.3P, \\ 0.5P + 0.5L - 30 \geq 0.7L + 0.3P \end{cases}
Решая эту систему, получаем, что это равновесие соответствует случаю P\geq L+150. В этом случае оба делают креативную рекламу.
Теперь рассмотрим равновесие, в котором Юля делает креативную рекламу, а Ваня — стандартную. Аналогично, получаем систему:
\begin{cases} 0.7P + 0.3L - 20 \geq 0.5P + 0.5L, \\ 0.7L + 0.3P \geq 0.5P + 0.5L - 30 \end{cases}
Решением этой системы является L+100\leq P\leq L+150. В этом случае креативную рекламу делает только Юля.
Теперь рассмотрим равновесие, в котором Юля делает стандартную рекламу, а Ваня — креативную. Требуемая система уравнений:
\begin{cases} 0.7P + 0.3L - 30 \geq 0.5P + 0.5L, \\ 0.7L + 0.3P \geq 0.5P + 0.5L - 20 \end{cases}
Решением этой системы является L+100\leq P\leq L+150. Такая система не имеет решений. Значит, случай III невозможен в равновесии.
Наконец, рассмотрим ситуацию, когда оба делают стандартную рекламу. Система в этом случае:
\begin{cases} 0.5P + 0.5L \geq 0.7P + 0.3L - 20, \\ 0.5P + 0.5L \geq 0.7P + 0.3L - 30 \end{cases}
Решая эту систему, мы получаем P\leq L+100. В этом случае оба делают стандартную рекламу.
Если строго следовать условию, корректным ответом будет следующий: оба делают креативную рекламу при P\geq L+150, только Юля делает креативную рекламу при L+100\leq P\leq L+150, и никто не делает креативную рекламу иначе.
в) Как зависит решение Вани и Юли от значения параметров P и L ? Становится ли более или менее выгодной создание креативной рекламы для каждого из них при увеличении только P или L, а также при их одновременном увеличении на одну и ту же величину? Объясните наблюдаемую зависимость интуитивно.
Как описано выше, оба делают креативную рекламу при P-L\geq 150, только Юля делает креативную рекламу при 100\leq P-L<150, и никто не делает креативную рекламу иначе. Значит, если P и L вырастают на одну и ту же величину, ситуация не меняется — стимулы создаются благодаря разнице между премией и обычной выплатой, а не благодаря размеру премиального фонда. Увеличение P в некоторых границах, равно как уменьшение L, делают разрыв между премией и обычной выплатой более заметным, что увеличивает стимулы создавать креативную рекламу.
г) Существуют ли такие значения параметров P и L, такие, что P\geq 0; \ 0\leq L<P, и при этом Юле и Ване выгодно договориться и отклониться от равновесия Нэша, т. е. производить другой вид рекламы? Почему такое отклонение может не происходить в реальности?
Да, такая ситуация возможна. Рассмотрим равновесие, соответствующее Случаю IV, то есть P\geq L+150. В этом случае ожидаемый выигрыш составляет 0,5P+0,5L-20 для Юли и 0,5P+0,5L-30 для Вани. Если Ваня и Юля договорятся делать стандартную рекламу, выигрыш каждого увеличится до 0,5P+0,5L. Такое отклонение, впрочем, не соответствует создаваемым стимулам — в этом случае Юле будет выгодно отклониться от договорённости и создать креативную рекламу.
д) Фирма получает доход как от выбранной Юлей рекламы, так и от рекламы Вани. Какие значения P и L выберет руководитель отдела маркетинга, максимизируя ожидаемую прибыль компании, то есть ожидаемый доход от рекламы минус ожидаемые расходы на премии? Чему равняется эта ожидаемая прибыль?
Заметим сразу, что выбор Юли и Вани зависит исключительно от разницы между P и L, в то время как прибыль фирмы строго убывает по L, поскольку расходы равны P+L. Значит, фирме оптимально всегда назначать L=0. При этом, чем меньше значение P, тем меньше расходы фирмы.
Тогда у фирмы есть три варианта:
1. Назначить P\leq 100 и стимулировать обоих сотрудников делать стандартную рекламу;
2. Назначить 100\leq P\leq 150, чтобы Юля делала креативную рекламу;
3. Назначить P\geq 150, чтобы оба делали креативную рекламу.
В первом случае лучше всего назначить P=L=0 и получить прибыль в размере 40 тысяч рублей.
Во втором случае выгодно назначить P=100. Тогда с вероятностью 0,7 реклама Юли не провалится и фирма получит выручку 60+20=80 тысяч рублей, а с вероятностью 0,3: 10+20=30 тысяч рублей. Ожидаемая прибыль равна 0,7*80+0,3*30-100=56+9-100=-35 тыс. руб.
В третьем случае при P=150 : 0.49 \cdot 120 + 0.42 \cdot 70 + 0.09 \cdot 20 - 150 = 58.8 + 29.4 + 1.8 - 150 = 90 - 150 = -60 тыс. руб.
Значит, оптимален первый случай — фирма установит P=L=0 и получит прибыль в размере 40 тысяч рублей.