Работник недели
В отделе маркетинга некой компании работают два сотрудника — Юля и Ваня. Каждый из них может придумывать креативную или стандартную рекламу. Один сотрудник не может придумать две рекламы. Создание стандартной рекламы не влечет за собой издержек, в то время как для креативной рекламы необходимо больше усилий. Денежный эквивалент издержек на создание креативной рекламы для Юли равен тысяч рублей, а для Вани (ему сложнее дается нестандартное мышление) — тысяч рублей.
Стандартная реклама всегда приносит компании тысяч рублей, в то время как охват креативной рекламы менее предсказуемый и поэтому креативная реклама с вероятностью приносит тысяч рублей, однако с оставшейся вероятностью реклама может провалиться и принести лишь тысяч рублей. Вероятности независимы друг от друга, то есть, например, вероятность того, что обе рекламы не провалятся (при создании креативной рекламы Ваней и Юлей) равна , вероятность того, что реклама Юли провалится, а реклама Вани — нет, будет равна . Аналогично, вероятность того, что реклама Вани провалится, а реклама Юли — нет, будет равна, а вероятность того, что обе рекламы провалятся, будет равна .
Фирма предлагает премию работнику недели — сотруднику, который принес компании больше всего денег. Размер премии составляет тысяч рублей, а второй работник получает тысяч рублей. Если оба работника приносят фирме одинаковую сумму, то премиальный фонд распределяется поровну, то есть каждый сотрудник получает .
Юля и Ваня максимизируют математическое ожидание своей премии минус издержки на создание рекламы. При решении задачи предполагается, что если сотруднику безразлично, создавать креативную рекламу или обычную, он(а) выберет креативную.
а) Пусть . Какую рекламу (креативную или стандартную) решат создавать Ваня и Юля? Стратегии Вани и Юли должны образовывать равновесие Нэша — ситуацию, при которой Ване не выгодно изменить свой выбор, если Юля не изменит свой, а Юле не выгодно изменить свой выбор, если Ваня не изменит свой.
Если доход равен с вероятностью с вероятностью и с вероятностью , то математическое ожидание дохода (ожидаемый доход) составит .
Ответ
Решение пункта (а) — это частный случай пункта (б). Поэтому мы сперва решим пункт (б), а затем вернёмся к пункту (а). Участники Конкурса могли сперва решить пункт (а). Все расчёты мы будем производить в тысячах рублей.
относится к случаю . При таком значении параметров и Юля, и Ваня будут делать стандартную рекламу.
б) Пусть теперь и могут быть любыми, такими, что . Какую рекламу (креативную или стандартную) решат создавать Ваня и Юля в равновесии Нэша? Ваш ответ может зависеть от и .
Ответ
Необходимо рассмотреть ситуации в зависимости от того, какой вид рекламы делают Юля и Ваня.
Случай I. И Юля, и Ваня делают стандартную рекламу. Тогда они оба приносят компании тыс. руб. и делят фонд зарплаты пополам; каждый получает и не несет никаких издержек.
Случай II. Юля делает креативную рекламу, а Ваня — стандартную. Тогда с вероятностью реклама Юли будет успешна. В этом случае она получит , а Ваня . С вероятностью реклама Юли провалится. Тогда Юля получит , а Ваня . Значит, ожидаемый выигрыш Юли с учетом издержек составляет , а ожидаемый выигрыш Вани — .
Случай III. Ваня делает креативную рекламу, Юля — стандартную. Этот случай аналогичен предыдущему. Единственное отличие заключается в том, что издержки для Вани будут составлять тысяч рублей, а не . Значит, выигрыш составит для Юли и для Вани.
Случай IV. Оба делают креативную рекламу. Возможны исхода: реклама и Вани, и Юли успешна (с вероятностью ); успешна реклама только Вани (с вероятностью ); успешна реклама только Юли ( ); реклама обоих провальная ( ). В первом и последнем исходе Юля и Ваня делят фонд пополам, а в остальных премию получает тот, чья реклама не провалилась. Записав выигрыши, можно увидеть, что ожидаемый выигрыш составляет для Юли и для Вани.
Теперь найдём, каким будет равновесие в зависимости от и . Сначала найдём, когда равновесной будет ситуация, при которой и Ваня, и Юля делают креативную рекламу. В этом случае должна выполняться система:
Решая эту систему, получаем, что это равновесие соответствует случаю . В этом случае оба делают креативную рекламу.
Теперь рассмотрим равновесие, в котором Юля делает креативную рекламу, а Ваня — стандартную. Аналогично, получаем систему:
Решением этой системы является . В этом случае креативную рекламу делает только Юля.
Теперь рассмотрим равновесие, в котором Юля делает стандартную рекламу, а Ваня — креативную. Требуемая система уравнений:
Решением этой системы является . Такая система не имеет решений. Значит, случай III невозможен в равновесии.
Наконец, рассмотрим ситуацию, когда оба делают стандартную рекламу. Система в этом случае:
Решая эту систему, мы получаем . В этом случае оба делают стандартную рекламу.
Если строго следовать условию, корректным ответом будет следующий: оба делают креативную рекламу при , только Юля делает креативную рекламу при , и никто не делает креативную рекламу иначе.
в) Как зависит решение Вани и Юли от значения параметров и ? Становится ли более или менее выгодной создание креативной рекламы для каждого из них при увеличении только или , а также при их одновременном увеличении на одну и ту же величину? Объясните наблюдаемую зависимость интуитивно.
Ответ
Как описано выше, оба делают креативную рекламу при , только Юля делает креативную рекламу при , и никто не делает креативную рекламу иначе. Значит, если и вырастают на одну и ту же величину, ситуация не меняется — стимулы создаются благодаря разнице между премией и обычной выплатой, а не благодаря размеру премиального фонда. Увеличение в некоторых границах, равно как уменьшение , делают разрыв между премией и обычной выплатой более заметным, что увеличивает стимулы создавать креативную рекламу.
г) Существуют ли такие значения параметров и , такие, что , и при этом Юле и Ване выгодно договориться и отклониться от равновесия Нэша, т. е. производить другой вид рекламы? Почему такое отклонение может не происходить в реальности?
Ответ
Да, такая ситуация возможна. Рассмотрим равновесие, соответствующее Случаю IV, то есть . В этом случае ожидаемый выигрыш составляет для Юли и для Вани. Если Ваня и Юля договорятся делать стандартную рекламу, выигрыш каждого увеличится до . Такое отклонение, впрочем, не соответствует создаваемым стимулам — в этом случае Юле будет выгодно отклониться от договорённости и создать креативную рекламу.
д) Фирма получает доход как от выбранной Юлей рекламы, так и от рекламы Вани. Какие значения и выберет руководитель отдела маркетинга, максимизируя ожидаемую прибыль компании, то есть ожидаемый доход от рекламы минус ожидаемые расходы на премии? Чему равняется эта ожидаемая прибыль?
Ответ
Заметим сразу, что выбор Юли и Вани зависит исключительно от разницы между и , в то время как прибыль фирмы строго убывает по , поскольку расходы равны . Значит, фирме оптимально всегда назначать . При этом, чем меньше значение , тем меньше расходы фирмы.
Тогда у фирмы есть три варианта:
Назначить и стимулировать обоих сотрудников делать стандартную рекламу;
Назначить , чтобы Юля делала креативную рекламу;
Назначить , чтобы оба делали креативную рекламу.
В первом случае лучше всего назначить и получить прибыль в размере тысяч рублей.
Во втором случае выгодно назначить . Тогда с вероятностью реклама Юли не провалится и фирма получит выручку тысяч рублей, а с вероятностью тысяч рублей. Ожидаемая прибыль равна тыс. руб.
В третьем случае при : тыс. руб.
Значит, оптимален первый случай — фирма установит и получит прибыль в размере тысяч рублей.