Ситуация 1. Продавец устанавливает разные цены.

Выручка от первого покупателя: R_1 = P_1 Q_1 = (a_1 - Q_1) Q_1 = a_1 Q_1 - Q_1^2. \quad R_1' = a_1 - 2Q_1 = 0. \quad Q_1 = 0,5a_1. R_1 = 0,5a_1^2 - 0,25a_1^2 = 0,25a_1^2. Аналогично R_2=0,25a_2^2.

По условию R_1+R_2=0,25a_1^2+0,25a_2^2=164.

Отсюда a_1^2+a_2^2=656. (1)

Ситуация 2. Цена одна и та же (P).

Выручка от первого покупателя: R_1=PQ_1=P(a_1-P). Выручка от второго покупателя: R_2=PQ_2=P(a_2-P).

Общая выручка R = P(a_1 - P) + P(a_2 - P) = a_1P + a_2P - 2P^2 = P(a_1 + a_2 - 2P). (2)

Обратите внимание! Мы знаем, что во второй ситуации максимальная выручка равна 162. Но это число еще нельзя подставлять в уравнение (2). Максимальное значение выручки мы можем использовать только тогда, когда получим выражение, связывающие оптимальные значения переменных. В данном случае это такое значение P, при котором достигается R_{max}.

А R_{max} достигается при условии: R'=a_1+a_2-4P. P=0,25(a_1+a_2).

R = P(a_1 + a_2 - 2P) = 0,25(a_1 + a_2)(a_1 + a_2 - 0,5a_1 - 0,5a_2) = 0,125(a_1 + a_2)^2.

А вот это выражение для выручки мы уже можем приравнять к заданному максимуму (162), поскольку оно уже содержит оптимальное значение P (при котором данный максимум и достигается).

0,125(a_1 + a_2)^2 = 162. \quad (a_1 + a_2)^2 = 1296. \quad a_1 + a_2 = 36. \quad a_2 = 36 - a_1. Подставим это значение в уравнение (1) : a_1^2+(36-a_1)^2=656. a_1^2-36a_1+320=0. Получаем два значения a_1 : 20 и 16. Соответствующие значения a_2 : 16 и 20. По условию a_2>a_1. Поэтому a_1=16, a_2=20.

Ответ. a_1=16, a_2=20.