В этой задаче описана последовательная игра между государством и монополией. Государство ходит первым, оно максимизирует полезность, выбирая пол P_{MIN} и/или потолок P_{MAX} для цены P. Монополия ходит второй, она максимизирует прибыль, выбирая цену P^* в пределах [P_{MIN};P_{MAX}], а также величину качества q^*. Поскольку информация симметрична, то ходящее первым государство будет учитывать дальнейшие действия монополии, ведь от них будет завить его полезность. Поэтому мы, как обычно, начинаем решать последовательную игру с конца, то есть с проблемы монополиста.

Прибыль монополиста имеет следующий вид:

\pi(P, q) = PQ - C(Q, q) = PQ - cqQ = A\sqrt{q} - cq\frac{A\sqrt{q}}{P} = Aq^{1/2} - cA\frac{q^{3/2}}{P} \to \max_{P,q}

при ограничениях P_{MIN}\leq P\leq P_{MAX} и q\geq 0 (так как в формуле для Q^D переменная q стоит под корнем). Заметим, что с ростом P прибыль всегда увеличивается, значит, P^*=P_{MAX}. Тогда оптимизационную задачу можно переписать следующим образом:

\pi(q) = Aq^{1/2} - cA\frac{q^{3/2}}{P_{MAX}} \to \max_{q \geq 0}

Берём производную от прибыли по качеству, приравниваем её к нулю и выражаем оптимальное качество q^* через потолок цены P_{MAX} :

\pi'(q) = A\frac{1}{2}q^{-1/2}\implies 1 - \frac{3c}{P_{MAX}}q^* = 0 \implies q^* = \frac{P_{MAX}}{3c}. - \frac{cA}{P_{MAX}} \frac{3}{2}q^{1/2} \implies \pi'(q^*) = A\frac{1}{2}(q^*)^{-1/2} - \frac{cA}{P_{MAX}} \frac{3}{2}(q^*)^{1/2} = 0

Итак, монополист выбирает качество, прямо пропорциональное потолку цены. Заметим, что пол ценыP_{MIN} не оказывает на выбор монополиста никакого влияния, поэтому государство может его не устанавливать.

Ещё раз: устанавливаемый государством потолок цены P_{MAX} определяет выбираемое монополистом качество q^*. Это качество q^* в свою очередь определяет объём производства Q^*, а также прибыль монополиста \pi (q^*) и размер налоговых сборов государства TaxRev=\pi(q^*)t, поэтому, прежде чем переходить к оптимизационной задаче государства, следует выразить выпуск Q^* и налоговые сборы как функции от устанавливаемого государством потолка цены P_{MAX}.

Монополист выбирает следующий объём производства:

Q^* = Q^D(P_{MAX}, q^*) = \frac{A\sqrt{q^*}}{P_{MAX}} = \frac{A\sqrt{\frac{P_{MAX}}{3c}}}{P_{MAX}} = P_{MAX}^{-1/2} \cdot \text{const}_1.

Чтобы рассчитать размер налоговых сборов, находим прибыль в оптимуме:

\pi(q^*) = A\left( \frac{P_{MAX}}{3c} \right)^{1/2} - cA\frac{\left( \frac{P_{MAX}}{3c} \right)^{3/2}}{P_{MAX}} = P_{MAX}^{1/2} \left( A\left( \frac{1}{3c} \right)^{1/2} - cA\left( \frac{1}{3c} \right)^{3/2} \right),

и подставляет её в функцию налоговых сборов:

TaxRev = \pi(q^*) \cdot t = P_{MAX}^{1/2} \left( A \left( \frac{1}{3c} \right)^{1/2} - cA \left( \frac{1}{3c} \right)^{3/2} \right) t = P_{MAX}^{1/2} \cdot \text{const}_2.

Следовательно, оптимизационную задачу государства можно записать так:

u(Q, TaxRev) = a \ln(Q) + b \ln(TaxRev) = a \ln \left( P_{MAX}^{-1/2} \cdot \text{const}_1 \right) + b \ln \left( P_{MAX}^{1/2} \cdot \text{const}_2 \right) = a \ln(\text{const}_1) - \frac{1}{2}a \ln(P_{MAX}) + b \ln(\text{const}_2) + \frac{1}{2}b \ln(P_{MAX}) = (a \ln(\text{const}_1) + b \ln(\text{const}_2)) + \frac{1}{2}(b - a) \ln P_{MAX} \to \max_{P_{MAX} \geq 0}.

Мы выразили полезность как функцию от P_{MAX}. Запишем подробный ответ:

-Если b>a, то оптимальным для государства будет установить как можно более высокую цену: P_{MAX} \to \infty, отчего равновесное качество примет своё максимальное возможное значение: q^* = \frac{P_{MAX}}{3c} \to \infty (такое решение будет принято монополистом).

-Если a>b, то государству будет выгодно установить потолок цены как можно ниже: P_{MAX}=0. При P_{MAX}=0 объём спроса не определён, поэтому напрямую рассчитать прибыль нельзя. Однако в пределе при P_{MAX} \to 0 прибыль \pi(q^*) = P_{MAX}^{1/2} \left( A\left( \frac{1}{3c} \right)^{1/2} - cA\left( \frac{1}{3c} \right)^{3/2} \right) \to 0, то есть монополия будет продолжать функционировать, а качество примет своё минимальное возможное значение: q^* = \frac{P_{MAX}}{3c} \to 0. Комментарий: при таком раскладе фирма производит огромное количество продукции с минимальным качеством и нулевой себестоимостью и даром отдаёт её покупателям, то есть выполняет роль некоммерческой государственной организации.

-Наконец, если a=b, то полезность государства не зависит от величины P_{MAX}, государство может присвоить ей любое неотрицательное значение. Но каким бы ни было P_{MAX}, качество составит q^* = \frac{P_{MAX}}{3c}.