Игра между государством и монополией
Объём спроса на продукцию государственной монополии задан уравнением , где – цена, – численная оценка качества продукции. Издержки производства составляют . Ставка налога на прибыль данной монополии фиксирована и равна . В рамках закона о регулировании монополии государство имеет право устанавливать пол и/или потолок для цены . При этом государство заботится как об объёме производства монополии , так и о налоговых поступлениях от данной монополии : функция полезности государства имеет вид . Монополия максимизирует прибыль. Информация полна и симметрична., , и – положительные константы. Каким будет качество продукции в равновесии?
В этой задаче описана последовательная игра между государством и монополией. Государство ходит первым, оно максимизирует полезность, выбирая пол и/или потолок для цены . Монополия ходит второй, она максимизирует прибыль, выбирая цену в пределах , а также величину качества . Поскольку информация симметрична, то ходящее первым государство будет учитывать дальнейшие действия монополии, ведь от них будет завить его полезность. Поэтому мы, как обычно, начинаем решать последовательную игру с конца, то есть с проблемы монополиста.
Прибыль монополиста имеет следующий вид:
при ограничениях и (так как в формуле для переменная стоит под корнем). Заметим, что с ростом прибыль всегда увеличивается, значит, . Тогда оптимизационную задачу можно переписать следующим образом:
Берём производную от прибыли по качеству, приравниваем её к нулю и выражаем оптимальное качество через потолок цены :
Итак, монополист выбирает качество, прямо пропорциональное потолку цены. Заметим, что пол цены не оказывает на выбор монополиста никакого влияния, поэтому государство может его не устанавливать.
Ещё раз: устанавливаемый государством потолок цены определяет выбираемое монополистом качество . Это качество в свою очередь определяет объём производства , а также прибыль монополиста и размер налоговых сборов государства , поэтому, прежде чем переходить к оптимизационной задаче государства, следует выразить выпуск и налоговые сборы как функции от устанавливаемого государством потолка цены .
Монополист выбирает следующий объём производства:
Чтобы рассчитать размер налоговых сборов, находим прибыль в оптимуме:
и подставляет её в функцию налоговых сборов:
Следовательно, оптимизационную задачу государства можно записать так:
Мы выразили полезность как функцию от . Запишем подробный ответ:
-Если , то оптимальным для государства будет установить как можно более высокую цену: , отчего равновесное качество примет своё максимальное возможное значение: (такое решение будет принято монополистом).
-Если , то государству будет выгодно установить потолок цены как можно ниже: . При объём спроса не определён, поэтому напрямую рассчитать прибыль нельзя. Однако в пределе при прибыль , то есть монополия будет продолжать функционировать, а качество примет своё минимальное возможное значение: . Комментарий: при таком раскладе фирма производит огромное количество продукции с минимальным качеством и нулевой себестоимостью и даром отдаёт её покупателям, то есть выполняет роль некоммерческой государственной организации.
-Наконец, если , то полезность государства не зависит от величины , государство может присвоить ей любое неотрицательное значение. Но каким бы ни было , качество составит .